НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Треугольник"

В любом треугольнике сумма длин трех медиан меньше его периметра.

Доказать, что если в треугольнике существует зависи-МОСТЬ cos А ' == cos В ' Т0 ОН РавнобеДРенныи

Доказать, что если отношение косинусов двух углов треугольника равно отношению синусов тех же углов, то треугольник равнобедренный.

Доказать, что для любого треугольника справедливо равенство a (sin В — sin С) + b (sin С — sin А) -\- с (sin А — sin В) = О?

Доказать, что если в треугольнике •f ~ ь- = 1 — 2 cos С, то треугольник равнобедренный.

Доказать, что во всяком треугольнике сумма попарных произведений котангенсов всех углов равна единице.

Доказать, что для всякого треугольника со сторонами а, Ъ и с и с углами А, В, С, его площадь S можно определить

Найти стороны прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной в него окружности делит один из катетов на отрезки длины т и п (т<^п).

Доказать, что сумма квадратов медиан любого треугольника составляет 75% от суммы квадратов его сторон.

В прямоугольном треугольнике найти биссектрису прямого угла, если гипотенуза треугольника равна с, а один из острых углов равен а.

Площадь полукруга, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей полукругов, построенных на его катетах.

Тангенс тупого внешнего угла прямоугольного треугольника равен k.

Найти тангенс острого угла треугольника, не смежного с данным внешним углом.

Построить треугольник, равновеликий данному многоугольнику.

Доказать, что если в треугольнике ВС^>АВ, то его высота BD, медиана BF и биссектриса BE расположены так, как указано на рис.

Медиана некоторого треугольника совпадает с его биссектрисой.

Доказать, что такой треугольник — равнобедренный.

Ученик построил точку Sb симметричную точке В относительно данной прямой, и заметил, что теперь легко построить треугольник ABC, для которого данная прямая является биссектрисой.

В равнобедренный прямоугольный треугольник ABC вписана окружность с центром О и построена касательная EF_1_АВ, пересекающая катет ВС в точке Е и гипотенузу АВ в точке F (рис.

Если в треугольнике две медианы равны, то треугольник равнобедренный.

Если две стороны и медиана одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.

20) треугольники АОВ и COD равновелики.

Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу.

Построить треугольник по двум сторонам и углу, прилежащему лишь t к одной из них.

Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон.

Построить треугольник по описанной окружности и точкам пересечения с этой окружностью продолжений высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из одной вершины.

Что собой представляет геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание?

Доказать, что из трех медиан прямоугольного треугольника наименьшую длину имеет та, которая проведена.

Через точку, лежащую на меньшей стороне треугольника, провести прямую, отсекающую от данного треугольника треугольник, подобный данному.

Найти Геометрическое место ортоцентров (точек пересечения высот) всех треугольников, имеющих общую сторону и равные углы, противолежащие этой стороне.

Дан треугольник ABC.

На основании ВС построить треугольник с той же площадью, но с углом при вершине В, равным половине угла В данного треугольника.

Сформулировать теорему, обратную теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника.

Пусть ВО — биссектриса угла В прямоугольного треугольника ABC, D — середина катета AC, DO J__ AC, ОЕ±АВ, OF±BC, AB — гипотенуза (рис.

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 30 см, 40 см и 50 см.

Доказать, что если в основании пирамиды, имеющей равные боковые ребра, лежит прямоугольный треугольник, то одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна к плоскости основания.

Пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 9 см и 8 см, вписана в конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом в 60°.

Если площадь образовавшегося треугольника 0-АВ в— раз превышает площадь круга, то во сколько раз каждый из отрезков О А и О В превышает радиус круга?

Квадрат и равносторонний треугольник заполнены одинаковым количеством равных кругов, касающихся друг друга и сторон этих фигур.

Узнать, сколько кругов для этого потребовалось, если к стороне треугольника примыкает на 14 кругов больше, чем к стороне квадрата (рис.

Трасса соревнований по велосипеду представляет собой контур прямоугольного треугольника с разностью катетов в 2 км.

В одном праздничном выступлении большая группа спортсменов образовала фигуру, очертанием которой был равносторонний треугольник: вершину треугольника занимал один спортсмен, за ним расположились 2 спортсмена, в следующем ряду 3 спортсмена и т.

На боковых ребрах призмы надо наметить точки М и /V так, чтобы при распиливании бруска по линиям СМ и CN в сечении получился равносторонний треугольник CMN.

На сторонах равностороннего треугольника ABC между его вершинами расположены точки А\, б, и С\ так, что AAt = — BBi — CCj = х.

Найти стороны прямоугольного треугольника, если известны его полупериметр р и медиана т, проведенная к гипотенузе.

В треугольнике ABC катет AC = b и катет ВС = а.

В одном праздничном выступлении большая группа спортсменов образовала фигуру, очертанием которой был равносторонний треугольник: вершину треугольника занимал один спортсмен, за ним расположились 2 спортсмена, в следующем ряду 3 спортсмена и т.

Зная длины сторон треугольника, ученик выразил его площадь и обратил внимание на то, что значениями длин сторон и площади этого треугольника являются соответственно четыре последовательных целых числа.

Какие размеры сторон были у треугольника?

Требуется найти координаты такой точки М на оси Ох и такой точки Р на оси Оу, чтобы треугольник AMP был равносторонним.

Доказать, что если т, п и р представляют собой длины сторон некоторого треугольника, то m2 -\- ri* -f- Р2 <С 2 (/«« -J- тр + "?

Катеты некоторого прямоугольного треугольника служат корнями уравнения Ах^ -{- Вх-\-С = 0.

Не решая этого уравнения, найти гипотенузу треугольника.

Длины сторон остроугольного треугольника составляют арифметическую прогрессию с разностью в 5 см.

Найти наибольшее число, обладающее следующим свойством: длина большей стороны любого треугольника указанного выше типа — не меньше этого числа.

Найти длины меньших сторон всех тупоугольных треугольников, у которых стороны выражаются целыми числами и составляют арифметическую прогрессию с разностью 3 см.

36** — 72x4-47*— 10 = 0, воспользовавшись тем, что его корни являются длинами сторон некоторого прямоугольного треугольника.

Катеты некоторого прямоугольного треугольника являются корнями уравнения

Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

В уравнении х8— l^-r-mx — 60 = 0 найти коэффициент т из того условия, что корпи этого уравнения являются сторонами некоторого прямоугольного треугольника.

Найти площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника, катеты которого являются корнями уравнения

Показать, что если стороны некоторого треугольника составляют геометрическую прогрессию, то и опущенные на них высоты также составляют геометрическую прогрессию,

Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике сумма квадратов медиан катетов составляет 125% от квадрата его гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной в 5 см и 12 см.

В прямоугольный треугольник с катетами а и Ь вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол.

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4 см, проведена медиана боковой стороны.

В равнобедренном треугольнике основание равно 16, а боковая сторона 10.

Основание равнобедренного треугольника равно 4]/А2, а медиана боковой стороны 5.

Дан треугольник со сторонами 12 см, 15 см и 18 см.

Найти отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

Каждая сторона а правильного треугольника разделена на четыре равные части.

Точки, делящие стороны в отношении 1 : 3, соединены последовательно и в образовавшийся правильный треугольник вписана окружность.

В правильный треугольник вписан квадрат, сторона которого равна т.

Найти сторону треугольника.

В равнобедренный треугольник с утлом при вершине в 120° и боковой стороной, равной а, вписана окружность.

Центр вписанной окружности делит высоту равнобедренного треугольника, опущенную на основание, на отрезки в 5 см и 3 см, считая от вершины.

Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника равна т и делит прямой угол в отношении 1; 2.

Определить острые углы прямоугольного треугольника, если медиана его гипотенузы делит прямой угол в отношении 1 : 2.

Найти стороны равнобедренного треугольника, если высоты, опущенные на его основание и боковую сторону, равны соответственно 5 см и 6 см.

Общая хорда двух пересекающихся окружностей равна а и служит для одной окружности стороной правильного вписанного треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата.

На сторонах квадрата вне его построены правильные треугольники и их вершины последовательно соединены.

В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиусом в 2 единицы.

В треугольнике известны длины двух сторон 6 см и 3 см.

К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см и высотой 8 см, проведена касательная, параллельная основанию.

Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между сторонами треугольника.

В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со стороной, равной 6 см так, что угол в 60Э у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника.

Дан правильный треугольник ЛВС.

Показать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.

В окружность с диаметром, равным У~12, вписан правильный треугольник.

На его высоте, как на стороне, построен другой правильный треугольник, в который вписана новая окружность.

Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника.

Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а меньший катет равен 10 см.

Прямые, соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник.

Окружность- касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла.

Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе треугольника, а катет треугольника равен а.

Доказать, что сумма расстояний от точки, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон равна высоте треугольника.

Параллелограмм с периметром 44 см разделен диагоналями на четыре треугольника.

Разность между периметрами двух смежных из этих треугольников равна б см.

Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника соответственно равны 2 см и 5 см.

В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 2 : 3.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, основание— 12 см.

К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от данного треугольника два малых прямоугольных треугольника.

Найти стороны этих треугольников.

В равносторонний треугольник вписана окружность.

В отсеченные окружностью части углов треугольника вписаны малые окружности.

Найти сторону треугольника, если радиус малой окружности равен г.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 16 см.

Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник,

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки длиной 8 см и 10 см.

Радиус, окружности, описанной около прямоугольного треугольника 15 см, а радиус вписанной в него окружности 6 см.

Прямая, проходящая через точку М, отсекает от пряморо угла треугольник с площадью 100 см'1.

В полученный криволинейный треугольник вписана окружность.

В прямоугольный треугольник со сторонами б, 8 и 10 см вписана окружность.

Через центр окружности проведены прямые, параллельные сторонам треугольника.

Найти средние отрезки сторон треугольника, полученные при пересечении прямых со сторонами.

В треугольник вписан ромб со стороной т так, что один угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки длины р и q.

Дан треугольник ABC со сторонами АВ = 15 см.

Дан равнобедренный треугольник с основанием, равным а, и боковой стороной, равной Ь.

Какими целыми числами выражаются стороны равнобедренного треугольника, если радиус вписанной окружности

В треугольник со сторонами 10 см, 17 см и 21 см вписан прямоугольник с периметром в 24 еж так, что одна его сторона лежит на большей стороне треугольника.

Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26.

На большем катете прямоугольного треугольника, как на диаметре, построена окружность.

Определить радиус этой окружности, если меньший катет треугольника равен 7,5 см, а длина хорды, соединяющей вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы и окружности, равна 6 см.

Центр полуокружности, вписанной в прямоугольный треугольник так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, делит гипотенузу на отрезки 30 и 40.

Около круга радиуса 3 описан равнобедренный треугольник с острым углом при основании в 30°.

В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны 1^52 и 1/^73.

Найти гипотенузу треугольника.

Показать, что сумма расстояний любой точки, взятой на стороне правильного треугольника до двух других его сторон, есть величина постоянная.

Найти третью сторону треугольника.

Боковые стороны равнобедренного треугольника являются их общими касательными, а основание касается одной из окружностей.

Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см.

Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 еж и боковой стороной 18 см.

В прямоугольный треугольник вписана^ окружность.

Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отстоящая от его сторон на расстояниях Ь, с, d.

Найти высоту этого треугольника.

Один конец диаметра полуокружности совпадает с вершиной угла при основании равнобедренного треугольника, а другой лежит на этом основании.

Каждая сторона правильного треугольника разделена на три равные части и соответственные точки деления, считая в одном направлении, соединены между собой.

В получившийся правильный треугольник вписана окружность радиуса г = 6 см.

В треугольник вписан параллелограмм со сторонами 3 см и 5 см и диагональю, равной 6 см.

Найти стороны треугольника, если известно, что диагонали параллелограмма соответственно параллельны боковым сторонам треугольника, а меньшая из его сторон лежит на основании треугольника.

Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 24 см, 28 см и 56 см.

В треугольник с боковыми сторонами 9 см.

и 15 см вписан параллелограмм так, что одна из его сторон длиной в 6 см лежит на основании треугольника, а диагонали параллелограмма соответственно параллельны боковым сторонам треугольника.

В равнобедренном треугольнике угол при основании содержит 72°, а биссектриса этого угла имеет длину, равную т.

Найти длины сторон треугольника.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит 36°, а биссектриса угла при основании равна V 20.

Найти длины сторон треугольника.

Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а боковая сторона 18 см.

Найти длину отрезка прямой между точками пересечения этих высот с боковыми сторонами треугольника.

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной Ь, проведены биссектрисы углов при основании.

Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12.

Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.

В треугольник вписана окружность радиуса 3 см.

Основания двух правильных треугольников со сторонами а и За лежат на одной и той же прямой* Треугольники расположены по разные стороны от прямой и не имеют общих точек, а расстояние между ближайшими концами их оснований равно 2а.

Найти расстояние между вершинами треугольников.

В треугольнике ABC угол А вдвое больше угла В, а стороны, противолежащие этим углам, соответственно равны 12 см и 8 см.

Найти третью сторону треугольника.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна т, радиус вписанной окружности равен г.

В равнобедренный треугольник с основанием в 12 см вписана окружность и к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника.

Сумма периметров малых треугольников равна 48 см.

Найти боковую сторону данного треугольника.

В равнобедренный треугольник вписана окружность.

К окружности проведены три касательные, параллельные каждой из сторон треугольника.

Найти длины отрезков касательных, заключенных между сторонами треугольника.

Определить острые углы прямоугольного треугольника, если отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно (1/3 "-f- 1).

В треугольнике ABC со сторонами АВ — 12 см, ВС = = 18 см и ЛС—15 см проведена биссектриса угла А.

В треугольник с периметром, равным 20 см, вписана окружность.

Отрезок касательной, проведенной к окружности параллельно основанию, заключенный между сторонами треугольника, содержит 2,4 см.

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит боковую сторону на отрезки 4 см и I см, считая от вершины.

Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную около него окружность в точке D.

Найти длину хорды DC, если центр окружности, вписанной в данный треугольник, удален от точки D на расстояние п см.

Доказать, что во всяком равнобедренном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри вписанной окружности.

В треугольник со сторонами 6 см, 10 см и 12 см вписана окружность.

Найти периметр отсеченного треугольника.

Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен его основанию.

Доказать, что и биссектриса равна основанию треугольника.

В треугольник, образованный линиями их центров, вписана окружность, радиус которой равен 3 см.

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки длиной 4 см и 2 см, а высота, опущенная на ту же сторону, равна 15 см.

Каковы длины сторон треугольника, если известно, что они выражаются целыми числами?

На каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану в отношении 3: 1, считая от вершины.

Во сколько раз площадь треугольника с вершинами в этих трех точках меньше площади исходного треугольника?

В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, одна сторона которого лежит на основании треугольника.

Найти площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают.

(Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан.

Найти площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника, если основание этого треугольника равно 24 см, а боковая сторона 13 см.

В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 15° и 60°.

Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с.

Определить площадь круга, вписанного в этот треугольник.

Найти площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если проекции катетов на гипотенузу равны 9 м и 16 м.

Площадь равнобедренного треугольника равна -^ площа

О ди квадрата, построенного на основании данного треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника равна 21^3 еж'2.

Прямая, параллельная основанию треугольника, делит его площадь в отношении 2:1, считая от вершины.

Найти площадь правильного треугольника, вписанного в квадрат со стороной а, при условии, что одна из вершин треугольника совпадает с, вершиной квадрата.

Определить площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, опущенная на гипотенузу, делит гипотенузу на отрезки, равные 25,6 см и 14,4 см.

Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, площадь его равна 24 см*.

Найти площадь равнобедренного треугольника с углом в 120°, если радиус вписанного круга равен У12 см.

На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой с вне этого треугольника построены квадраты.

Найти площадь получившегося треугольника.

Найти площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной а.

На сторонах равностороннего треугольника вне его построены квадраты.

Их вершины, лежащие вне треугольника, последовательно соединены.

Определить площадь полученного шестиугольника, если сторона данного треугольника равна а.

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна а.

Вычислить отношение площадей квадрата, правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.

Сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна а.

На диаметре 2R полуокружности построен правильный треугольник, сторона которого равна диаметру.

Треугольник расположен по ту же сторону от диаметра, что и полуокружность.

Вычислить площадь равностороннего треугольника, если сумма длин его стороны и высоты равна т.

В прямоугольный треугольник с катетами а и b вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол (т.

На диаметре полукруга построен правильный треугольник, стороны которого равны диаметру.

Как относятся площади частей треугольника, лежащих вне и внутри полукруга?

В правильный треугольник со стороной, равной а, вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник.

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 см и 5 см.

В правильный треугольник вписана окружность, а в нее вписан правильный шестиугольник.

Найти отношение площадей треугольника и шестиугольника.

, разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника.

В круге радиуса К по разные стороны от центра проведены две параллельные хорды, одна из которых равна стороне правильного вписанного треугольника, а другая — стороне правильного вписанного шестиугольника.

В круг радиуса R так вписаны два правильных треугольника, что при взаимном пересечении их сторон каждая из сторон разделилась на три равные части.

Определить площадь многоугольника, сторонами которого служат средние отрезки сторон треугольников.

Найти отношение площадей равностороннего треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, стороны которых равны.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 м и 8 м.

Определить площади образовавшихся треугольников.

Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на его основание, равна 10 см, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12 см.

Найти отношение площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов.

Найти площадь трапеции, если длины ее оснований относятся, как 5:3, и площадь всего образовавшегося треугольника равна 50 см1.

В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность.

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см.

Найти площадь этого треугольника.

По трем данным сторонам a, b и с треугольника определить площадь описанного около него круга.

Найти площадь равнобедренного треугольника, если основание его равно а, а высота, опущенная на основание, равна отрезку, соединяющему середины основания и боковой стороны.

Доказать, что отношение периметра треугольника к одной из его сторон равно отношению высоты, опущенной на эту сторону, к радиусу вписанной окружности.

Определить величину сторон равнобедренного треугольника ABC (АВ — ВС) по двум высотам AN = n, BM = m.

Определить стороны равновеликого ему равнобедренного треугольника, у которого сумма длин основания и высоты равна сумме длин двух боковых сторон.

Определить углы равнобедренного треугольника, если его площадь относится к площади квадрата, построенного на его основании, как УЗ : 12.

В треугольнике ABC проведена прямая DE, параллельная основанию АС.

Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см*, а гипотенуза равна 10 см.

Около круга радиуса R описаны квадрат и равносторонний треугольник, причем одна из сторон квадрата лежит на стороне треугольника.

Найти площадь треугольника, вписанного в круг радиуса 2 см, если два угла треугольника равны у и —.

К этим окружностям проведена общая внешняя касательная, и в образовавшийся при этом криволинейный треугольник вписан круг.

В треугольник со сторонами а, Ъ и с вписан полукруг с диаметром, лежащим на стороне с.

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8см.

Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы описанного и вписанного в него кругов R и г.

Длины сторон треугольника относятся, как т:п\т.

Найти отношение площади этого треугольника к площади треугольника, вершины которого находятся в точках пересечения биссектрис данного треугольника с его сторонами.

Считая радиус большего полукруга равным R, найти сумму площадей криволинейных треугольников, образовавшихся при построении круга, касательного ко всем трем данным полукругам.

Сторона правильного треугольника равна а.

Определить площадь части треугольника, лежащем!

вне крута радиуса а/3, центр которого совпадает с центром треугольника.

В треугольнике ABC проведены медианы BD и С/Г; Л'!

Доказать, что треугольник ВСМ равновелик четырехугольнику ADME.

Дан треугольник ABC; найти геометрическое место точек М, таких, что площади треугольников АМВ и ВМС равны.

В круг радиуса R вписан правильный треугольник.

Эти точки пересечения соединены между собой, образуя новый треугольник.

Вычислить ту часть площади круга, которая находится вне этих двух треугольников.

В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние от середины этого катета до гипотенузы равно 4 см.

В треугольнике ABC даны три стороны: АВ = \3 см, ВС = 15 см, А С =14 см.

Определить площадь части треугольника, заключенной между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В.

Медианы одного треугольника равны сторонам другого треугольника.

Доказать, что вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит гипотенузу на отрезки, произведение которых равно площади этого треугольника.

В треугольник вписан круг.

Найти площадь этого треугольника.

Определить площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник высотой и медианой, проведенными к большей по величине стороне.

Определить площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.

Определить стороны прямоугольного треугольника, у которого периметр равен 2 р, а площадь равна т2.

В равносторонний треугольник ABC со стороной а = 2 вписан круг; точка А является центром второго круга с радиусом R = l.

Внутри правильного треугольника со стороной а расположены три равных окружности.

Каждая из них касается двух сторон данного треугольника и двух других окружностей.

Определить площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.

Криволинейный треугольник составлен тремя равным!

Найти площадь этого треугольника.

Центр равностороннего треугольника со стороной, равной 6 см, совпадает с центром окружности радиуса 2 см.

Определить площадь части треугольника, лежащей вне этой окружности.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с.

Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 2 см.

В круг радиуса R вписан равносторонний треугольник и квадрат, имеющие общую вершину.

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка и через нее проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника.

Эти прямые делят треугольник ЛВС на шесть частей, из которых три части являются треугольниками.

Сторона правильного треугольника равна а.

Определить площадь части треугольника, лежащей вне окружности.

Точка /(— такая точка на прямой СО, что треугольник АВК.

В равносторонний треугольник со стороной а вписана окружность.

К окружности проведена касательная так, что отрезок ее внутри треугольника равен Ь.

Основания высот остроугольного треугольника ABC служат вершинами другого треугольника, периметр которого равен 2 р.

Найти отношение площади треугольника, ограниченного прямыми AN, BP и СМ, к площади треугольника ABC.

Через данную точку внутри угла провести прямую так, чтобы она отсекла от него треугольник наименьшей площади.

Даны два правильных треугольника, каждый площади S, из которых второй получается из первого поворотом на 30° около его центра.

Вычислить площадь общей части этих треугольников.

Площадь прямоугольного треугольника равна -^-г"2, где г — радиус окружности, касающейся одного катета и продолжений другого катета и гипотенузы.

Диагонали трапеции разбивают ее на четыре треугольника.

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, точки касания которой служат вершинами треугольника Л^.

Найти отношение площади треугольники ABC к площади треугольника AlBtCt, если, даны катеты исходного треугольника ИС = 4 см и ВС — 'З см.

Треугольник повернут вокруг центра тяжести на угол 180°.

Определить отношение площади общей части исходного и повернутого треугольника к площади исходного треугольника.

В равнобедренный треугольник с основанием, равным а, вписан квадрат, одна из сторон которого лежит на основании треугольника.

Площадь квадрата составляет шестую часть площади треугольника.

Определить высоту треугольника и сторону квадрата.

Длины двух отрезков, соединяющих середины катетов с вершинами противоположных углов прямоугольного треугольника, равны а и Ь.

Сформулировать какой-нибудь способ построения правильного треугольника, равновеликого данному квадрату.

Определить площадь этого треугольника.

В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла отсекает на гипотенузе отрезки длины а и Ь.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной (7, п острым углом 30°.

Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами, равными а, а и Ь.

Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13см, 14 ом и 15см.

Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, основание которого равно 6 см, а высота равна 9 см.

Основанием пирамиды служит треугольник с длинами сторон 6 см, 5 см и 5 см.

Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной а, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом 66°.

Ее основанием служит прямоугольный треугольник, катеты которого относятся, как т: п, а гипотенуза равна с.

В конус, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар.

Треугольник со сторонами 10 дм, 17 дм, 21 дм вращается около большей стороны.

Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, основание которого равно а, а угол при нем равен 45°.

Основанием призмы АВСА^В^С^ служит правильный треугольник ЛВС со стороной а.

В основании наклонной призмы лежит правильный треугольник со стороной, равной а.

Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной, равной а.

Одна из боковых граней также равносторонний треугольник и перпендикулярна к плоскости основания.

Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с, и острым утлом 30°.

Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной, равной а.

В треугольной пирамиде все четыре грани — равные равнобедренные треугольники с основанием, равным а, и боковой стороной, разной Ь.

Конус образован вращением прямоугольного треугольника площади S вокруг одного из катетов.

Найти объем конуса, если длина окружности, описанной при вращении этого треугольника точкой пересечения его медиан, равна L.

Треугольник со сторонами, равными a, b и с, вращается поочередно около каждой из своих сторон.

Найти площадь поверхности шара, вписанного в пирамиду, в основании которой лежит треугольник со сторонами, равными 13см, Нем и \5 см, если вершина пирамиды удалена от каждой стороны основания на 5 см>

Основание пирамиды есть прямоугольный треугольник.

В основании прямой призмы лежит треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 10 см.

пирамиды проведена плоскость, которая отсекает от противоположной грани треугольник площадью 4 см-.

Доказать, что объем пирамиды равен -- произведения площади треугольника MSN, где MN есть средняя линия трапеции, на расстояние ребра АВ от плоскости.

Многогранник имеет следующее строение: две его граня (основания) являются многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях; остальные грани (боковые) представляют собой трапеции, параллелограммы или треугольники, у которых каждая вершина является одновременно вершиной одного из оснований.

Доказать, что если А и В — острые углы некоторого прямоугольного треугольника, то sin 2A -f- sin 2В = 4sin A sin В.

Зная, что А, В и С — внутренние углы некоторого треугольника, в примерах 2718 — 2724 доказать равенство:

Предположив, что Л, В и С — внутренние углы некоторого треугольника, доказать, что sin2 A -f- sin2 В + sin2 С — 2 cos Л cos В cos С = 2.

Предположив, что Л, В и С — внутренние углы некоторого треугольника, доказать, что sin(2«-f 1) Л-f sin(2n-f l)B + sin(2n где п — целое число.

Предположив, что Л, В и С — внутренние углы некоторого треугольника, доказать равенство: sin 2i Л 4- sin 2nB 4- sin 2пС = (— 1)я+1 4 sinnA • sin nB• sin лС, где п — целое число.

Доказать следующее утверждение: для того, чтобы в треугольнике ABC один из углов был равен 60°, необходимо и достаточно, чтобы выполнилось равенство: sin ЗЛ -f- sin 3В 4- sin ЗС == 0.

Доказать следующее утверждение: для того, чтобы в треугольнике ЛВС один из углов был равен 36° или 108°, достаточно, чтобы выполнялось равенствоsin 5 A ~|-sin5B-|-sin5C = 0.

Один из углов прямоугольного треугольника удовлетворяет уравнению sur* x -\- sin x • sin 2х — Зсоь:'л: = 0.

Показать, ч го треугольник равнобедренный.

Показать, что не существует треугольника, каждый угол которого удовлетворял бы уравнению (3cosx — 2) (14 sin2 А: 4~ sin 2л:— 12) = 0.

Показать, что существуют треугольники, у которых каждый угол удовлетворяет уравнению (65 sin x — 56) (80 — 64 sin x — 65 cos2 x) = 0.

Дан треугольник, каждый из углов которого удовлетворяет уравнению

Показать, что треугольник равносторонний.

Сумма двух неравных высот равнобедренного треугольника равна /, угол при вершине равен я.

Угол при основании равнобедренного треугольника равен а.

В прямоугольном треугольнике даны его площадь S и острый угол а.

Найти расстояние от точки пересечения медиан треугольника до гипотенузы.

В прямоугольник ABCD (АВ \, CD) вписан треугольник AEF.

Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при вершине равен а.

Доказать, что во всяком треугольнике разность между суммой квадратов любых двух его сторон и произведением этих сторон, умноженным на косинус угла между ними, есть для данного треугольника величина постоянная.

Отношение площади прямоугольного треугольника к площади квадрата, построенного на его гипотенузе, равно k.

Площадь равнобедренного треугольника равна S, острый угол между медианами, проведенными к его боковым сторонам, равен а.

В сегмент, дуга которого содержит а°, вписан правильный треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой дуги, а две другие — лежат на хорде.

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а, радиус вписанного круга равен г.

В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол при основании а.

В прямоугольном треугольнике ABC острый угол А равен а радианам.

Найти отношение площадей криволинейных треугольников ADE и BDF.

В равнобедренный треугольник с углом я при основании вписана окружность радиуса г.

Найти радиус окружности, описанной около треугольника.

Площадь равнобедренного треугольника равна.

Найти радиус круга, вписанного в треугольник.

Равносторонний треугольник пересечен прямой, проходящей через середину одной из его сторон и составляющей с этой стороной угол я.

В квадрат ABCD вписан равнобедренный треугольник AEF: точка Е лежит на стороне ВС, точка F — на стороне CD и АЕ = AF.

В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами равен я, радиус вписанной окружности равен г.

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а.

Найти отношение площади треугольника к площади описанного около него круга.

В треугольнике даны длины двух сторон а и Ь и угол а между ними.

Показать, что если в треугольнике отношение тангенсов двух углов равно отношению квадратов синусов этих же углов, то треугольник равнобедренный или.

Основанием пирамиды служит правильный треугольник.

В основании прямой треугольной призмы лежит равнобедренный треугольник ABC, у которого АВ=.

Найти площадь сечения, если известно, что в сечении получился треугольник.

Треугольник ABC вращается вокруг прямой, лежащей в плоскости этого треугольника проходящей вне его через вершину А и одинаково наклоненной к сторонам АВ и АС.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом а.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол при вершине равен а.

Плоскость, проходящая через одну из сторон этого квадрата и через вершину конуса, при пересечении с поверхностью конуса образует равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен а.

Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник с углом а при вершине.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом а.

Все боковые ребра треугольной пирамиды составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный одному из острых углов прямоугольного треугольника, лежащего в эсновании пирамиды.

Найти этот угол, если гипотенуза этого треугольника равна с, а объем пирамиды равен и.

В конус вписана г; рамнда, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом между боковыми сторонами, равным а.

Основанием пирамиды ABCD служит прямоугольный треугольник ABC (угол С равен 9(Р).

Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна а и угол между боковыми сторонами равен а.

В остроугольном треугольнике ABC высота AD = a, высота СЕ = Ь, острый угол между AD и СЕ равен а.

Острый угол прямоугольного треугольника равен а.

В равносторонний треугольник ABC вписан равносторонний треугольник А'В'С': точка А' лежит на стороне ВС, точка В' — на стороне АС и точка С' на стороне АВ.

В каком отношении делит высоту равнобедренного треугольника ABC точка О, из которой все три стороны видны под одним и тем же углом (АОВ = ВОС = СОЛ), если угол при осно-вании треугольника равен

Высота равнобедренного треугольника равна h и состав/ т- \л нет с боковой стороной угол ai.

Найти расстояние междуцентрами вписанной в треугольник и описанной около пего окружностей.

В окружность радиуса R вписан треугольник, вершины которого делят окружность на три части в отношении 2:5: 17.

Тангенс угла при основании равнобедренного треугольника равен А-.

Найти синус угла при вершине равнобедренного треугольника, если известно, что медиана, проведенная к боковой стороне, составляет с основанием угол, синус которого равен ~.

Через вершину угла а при основании равнобедренного треугольника проведена прямая, пересекающая противолежащую боковую сторону и составляющая с основанием угол ]3.

Через вершины равностороннего треугольника ABC проведены параллельные прямые AD, BE и CF.

Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанного круга на отрезки, отношение которых равно /г.

В остроугольном равнобедренном треугольнике радиус вписанной окружности в 4 раза меньше радиуса описанной около него окружности.

В треугольнике ABC даны острые углы я и f (Я^>Т)> прилежащие к стороне АС.

Найти отношение площади треугольника BDE к площади треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике найти угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла, равного а.

Найти косинусы острых углов прямоугольного треугольника, зная, что произведение тангенсов половин этих углов

Найти косинусы углов равнобедренного треугольника, у которого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную к основанию.

3393 Показать, что если в треугольнике отношение суммы синусов двух углов к сумме их косинусов рашю синусу третьего угла, то треугольник прямоугольный.

Тангенс острого угла между меднзпамн прямоугольного треугольника, проведенными к его катетам, равен k.

В треугольнике даны сторона а, противолежащий ей угол я и высота /г, проведенная к данной стороне.

В квадрат A BCD вписан равнобедренный треугольник AEF: точка Е лежит на стороне ВС, точка /•' — на стороне

В треугольнике ABC даны острые углы а и f (?

В прямоугольном треугольнике меньший острый угол ранен а.

В треугольнике ABC угол А равен я и сторона ВС — а.

Равнобедренный треугольник с углом а при вершине пересечен прямой, проходящей через вершину угла при основании и составляющей с основанием угол В.

В этот сектор вписан правильный треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой дуги АВ, а две другие вершины лежат соответственно на радиусах ОА и Об.

Найти сторону треугольника.

В равнобедренный треугольник с основанием а и углом У.

Найти радиус окружности, касающейся вписанной окружности и боковых сторон треугольника.

В прямоугольном треугольнике ЛВС проведена биссектриса AD острого угла А, равного а.

Найти отношение радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABD и ADC.

Найти синус угла при вершине равнобедренного треугольника, зная, что периметр любого вписанного в него прямоугольника, две вершины которого лежат на основании, имеет постоянную величину.

Основаниями усеченной пирамиды служат правильные треугольники.

С основании треугольной пирамиды лежит равноб(дрен-ный треугольник, у которого площадь равна 5 и угол npi вершине равен а.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом а.

Этот треугольник вписан в оснсвание конуса.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна а, его острый угол равен я.

Треугольник вращается вокруг биссектрисы внешнего прямого угла.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом при вершине, равным а,

Две грани треугольной пирамиды — равные между собой прямоугольные треугольники с общим катетом, равным /.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, вписанный в основание конуса.

Основанием пирамиды служит правильный треугольник.

Две вершины равностороннего треугольника со стороной, равной а, лежат на окружности верхнего основания цилиндра, а третья вершина — на окружности нижнего основания.

Найти угол между апофемой боковой грани и непересекающей ее высотой треугольника, лежащего в основании пирамиды.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого острый угол между равными сторонами равен а (а<Ст)' Все боковые ребра составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный (3.

Основанием наклонной призмы АВСА'В'С'(АА' \ВВ' \СС') служит равнобедренный треугольник, у которого АВ = АС = а и угол САВ^=а.

Основанием прямой призмы, описанной около шара радиуса г, служит прямоугольный треугольник с острым углом, равным а.

Найти угол между плоскостью треугольника АВ'С и плоскостью основания.

В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол а, а с одним из катетов —угол р.

В прямоугольном треугольнике с острым углом а через наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол р.

Найти углы между этой плоскостью и катетами треугольника.

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и углом между боко-иыми сторонами, равным а.

В основании прямой призмы лежит треугольник.

В основании прямой призмы АВСА'В'С' (АА' = ВВ' = — СС') лежит равнобедренный треугольник ABC с углом а между равными сторонами АВ и АС.

Основанием призмы служит правильный треугольник со стороной, равной а.

Катет прямоугольного треугольника равен а, противолежащий ему угол равен а.

Этот треугольник вращается вокруг прямой, лежащей в плоскости треугольника, проходящей через вершину данного угла и перпендикулярной его биссектрисе.

В треугольнике ABC угол А равен а, угол В равен |3 (х^>В) и биссектриса BD равна /.

Треугольники ABD и ВВС вращаются вокруг прямой BD.

Основанием прямой призмы служит равносторонний треугольник.

Основанием пирамиды служит равнобедренный остроугольный треугольник, у которого боковая сторона равна Ь, а угол при основании равен а.

Тупоугольный равнобедренный треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через точку пересечения его высот параллельно большей стороне.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна а, угол при основании равен л.

Этот треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину, противолежащую основанию, параллельно биссектрисе угла а.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, у которого радиус вписанной окружности равен г, а острый угол равен а.

В основание шарового сегмента вписан прямоугольный треугольник, у которого площадь равна S, а острый угол равен а.

Основанием прямой призмы АВСА'В'С' (АА'\\ВВ'\\ССГ) служит равнобедренный треугольник ABC (AB*=AC), у которого периметр равен 2р, а угол при вершине А равен а.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого площадь равна S, а угол между боковыми сторонами равен а.

Найти углы прямоугольного треугольника, зная, что объем тела, полученного от вращения треугольника вокруг меньшего катета, равен сумме объемов тел, полученных от вращения треугольника вокруг его гипотенузы и вокруг большего катета.

Основанием пирамиды служит равнобедренный остроугольный треугольник, у которого основание равно а, а противолежащий угол равен а.

Основанием пирамиды SABC служит равносторонний треугольник ABC.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен а.

Найти двугранные углы при основании, если высота пирамиды равна гипотенузе треугольника, лежащего в ее основании,

В основании прямой призмы ABC А'В'С' (А А' \\ ВВ' \\ СС') лежит равнобедренный треугольник, у которого АВ = ВС = а и угол АВС = а.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол между боковыми сторонами равен а.

Найти объем тела, образованного вращением треугольника ACD вокруг диаметра АВ, если вписанный угол, опирающийся на дугу АС, равен а (ЛС<ЛО).

Основанием прямой призглы служит прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен а.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна с, а меньший из острых углов равен а.

Сторона правильного треугольника равна а.

Треугольник вращается вокруг прямой, лежащей в плоскости треугольника вне его, проходящей через вершину треугольника и составляющей со стороной угол, равный а.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом между боковыми сторонами, равным а.

Б треугольнике ABC даны острые углы а.

Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около него, равно т.

В сегмент с центральным углом а вписан правильный треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой хорды сегмента, а две другие лежат на дуге сегмента.

Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного отрезком одной касательной и двумя соответствующими дугами окружностей.

В треугольнике даны две стороны а и b (a^>b) и площадь S.

В равносторонний треугольник ABC вписан равносторонний треугольник DEF: точка D лежит на стороне ВС, точка Е — на стороне АС и точка F — на стороне АВ.

Тангенс угла между медианой и высотой, проведенными к боковой стороне равнобедренного треугольника, равен у.

В сечении образовался треугольник с углом ^ при вершине пирамиды.

Угол между плоскостями двух равных прямоугольных треугольников ABC и ADC с общей гипотенузой АС равен я.

Основанием призмы служит правильный треугольник со стороной, равной а.

Основанием пирамиды служит правильный треугольник.

Основанием наклонной призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом, равным а.

В треугольной пирамиде все грани — правильные треугольники.

В конус, осевое сечение которого — прямоугольный треугольник, вписан цилиндр: нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса.

Основанием пирамиды ABCF служит равнобедренный треугольник ABC, у которого угол между равными сторонами

АВ и АС равен а (а<С-у)' ^ пирамиду вписана треугольная призма AEDA'E'D': точки А', Е'', D' лежат соответственно на боковых ребрах AF, CF и BF пирамиды, а сторона ED основания AED проходит через центр окружности, описанной около треугольника ABC.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru