НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Углы"

Боковая грань составляет с плоскостью основания угол а.

Две боковые грани усеченной треугольной пирамиды —• равные прямоугольные трапеции с острым углом аи общей меньшей боковой стороной.

Двугранный угол между этими гранями равен р.

Найти угол между третьей боковой гранью и плоскостью основания.

Через две образующие конуса, угол между которыми равен а, проведена плоскость.

Найти угол между образующей и высотой конуса.

262, Боковая грань правильной четырехугольной усеченной пирамиды составляет с плоскостью основания угол а.

Плоскость, проведенная через сторону нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, образует с плоскостью основания угол р.

Боковое ребро составляет с основанием угол а.

Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а.

Эта плоскость отстоит от центра основания конуса на расстояние а и составляет с высотой конуса угол а.

Сумма двух неравных между собой плоских углов при вершине равна я/2.

Найти эти углы.

Найти угол между высотой и образующей конуса и допустимые значения k.

Диагональ этой грани составляет с прилежащими к ней сторонами основания призмы углы аир.

Плоскость треугольника составляет с образующей цилиндра угол а.

Найти плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды, если он равен углу между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Отрезок прямой, соединяющий точку окружности верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, равен / и составляет с плоскостью основания угол а.

Каждое из боковых ребер равно / и составляет с прилежащими сторонами основания углы а и р.

Прямая АВ составляет с плоскостью основания угол а, а с плоскостью осевого сечения, проведенного через точку В,— угол р.

Найти угол между образующей и высотой конуса.

Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, две другие составляют с ней углы а и [3.

Одна из сторон основания прямой треугольной призмы равна а, а прилежащие к ней углы равны а и |5.

Одно боковое ребро треугольной пирамиды перпендикулярно плоскости основания и равно /, два других образуют между собой угол а, а с плоскостью основания — один и тот же угол р1.

Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, у которой острый угол равен а, а площадь равна S.

Все боковые грани составляют с плоскостью основания один и тот же угол Р.

Ребра 0В и ОС составляют с основанием углы, соответственно равные ос и р.

Найти угол между ребром OD и основанием.

Найти угол между апофемой пирамиды и непересекающей ее высотой треугольника, лежащего в основании пирамиды.

Угол между смежными боковыми гранями равен а.

Найти двугранный угол при основании.

Угол между высотой и образующей конуса равен а.

Через вершину конуса проведена плоскость, составляющая угол |3 с высотой (Р<а).

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого острый угол между равными сторонами равен а.

Все боковые ребра составляют с плоскостью основания один и тот же угол р\ Через сторону основания, противолежащую данному углу а, и середину высоты пирамиды проведена плоскость.

Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.

Боковая грань правильной треугольной пирамиды составляет с-плоскостью основания угол, тангенс которого равен k.

Все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания один и тот же угол.

Найти этот угол, если отношение полной поверхности пирамиды к площади основания равно Те.

Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.

Найти косинус плоского угла при вершине пирамиды.

Через сторону ромба проведена плоскость, образующая с диагоналями углы а и 2а.

Найти острый угол ромба.

Вершина fii верхнего основания равноудалена от всех сторон нижнего основания, а ребро В^В составляет с плоскостью основания угол р.

Основанием наклонной призмы служит равнобедренная трапеция, у которой боковая сторона и меньшее основание равны а, а острый угол равен р.

Найти объем призмы, если боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а.

Основанием прямой призмы, описанной около шара радиуса г, служит прямоугольный треугольник с острым углом а.

Диагонали АВг и CBi двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда ABCDAiBtdDi составляют с диагональю АС основания ABCD углы, соответственно равные аир.

Найти угол между плоскостью треугольника АВгС и плоскостью основания.

В правильной треугольной призме сторона основания равна а, угол между непересекающимися диагоналями двух боковых граней равен а.

В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол а, а с одним из катетов — угол р.

Найти угол между этой плоскостью и вторым катетом.

В прямоугольном треугольнике с острым углом а через наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с пло-скостыо треугольника угол р.

Найти углы между этой плоскостью и катетами треугольника.

В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а между боковыми сторонами.

Диагональ боковой грани, противолежащей данному углу, составляет со смежной боковой гранью угол ср.

Два его угла равны а и [3, а площадь равна S.

Прямая, проходящая через вершину верхнего основания и центр круга, описанного около нижнего основания, составляет с плоскостью основания угол ф.

Две смежные боковые грани составляют с плоскостью основания углы а и р.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна / и составляет с двумя смежными гранями углы а и р.

В правильной треугольной призме плоскость, проведенная через центр основания и центры симметрии двух боковых граней, составляет с плоскостью основания острый угол «.

В прямой призме ABCAiB1C\(AAi\\BBi\\CC1) стороны основания АВ и ВС соответственно равны а и b, a угол между ними равен а.

Через биссектрису данного угла и вершину А± проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания бстрый угол р\ Найти площадь сечения.

В основании прямой призмы ABCAlBlC-i(AAi \\ SB, || || ССО Лежит равнобедренный треугольник ABC с углом а между равными сторонами АВ и АС.

Отрезок прямой, соединяющий йер-шину AI верхнего основания с центром круга, описанного около нижнего основания, равен / и составляет с плоскостью основания угол р.

Боковое ребро равно b и составляет с пересекающими его сторонами основания углы, каждый из которых равен а.

Боковое ребро составляет равные углы со сторонами основания и наклонено к плоскости основания под углом а.

Найти угол между боковым ребром н стороной основания.

На шаровой поверхности радиуса R лежат все вершины равнобедренной трапеции, у которой меньшее основание равно боковой стороне, а острый угол равен а.

Высота конуса равна Н, угол между образующей и плоскостью основания равен а.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен а.

Высота конусе равна Н, угол между образующей и плоскостью основания равен а.

Найти угол между апофемой правильной треугольной пирамиды и плоскостью ее основания, если разность между этим углом и углом, который составляет боковое ребро пирамиды с плоскостью основания, равна а.

Катет прямоугольного треугольника равен а, противолежащий ему угол равен а.

Этот треугольник вращается вокруг прямой, лежащей в плоскости треугольника, проходящей через вершину данного угла и перпендикулярной его биссектрисе.

Найти углы в основании параллелепипеда и допустимые значения k.

Образующая усеченного конуса, описанного около шара, равна а, угол между образующей и плоскостью основания равен а.

Найти отношение объема правильной л-угольной пирамиды к объему описанного шара, если угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен а.

Найти угол между диагональю боковой грани и непересекающей ее стороной основания призмы.

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно я и составляет с плоскостью основания угол а.

В треугольнике ЛВС угол А равен се, угол С равен р и биссектриса.

Найти площадь сечения, если угол между секущей плоскостью и плоскостью основания равен а.

не принадлежащую той же грани) вершину сечения, составляет с плоскостью основания угол се.

Основанием пирамиды служит равнобедренный остроугольный треугольник, у которого боковая сторона равна Ь, а угол при основании равен а.

Все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания один и тот же угол р.

Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину данного угла а, и высоту пирамиды.

Плоская ломаная линия состоит из п равных отрезков, соединенных в виде зигзага под углом а друг к другу.

Эта линия вращается вокруг прямой, проходящей через один из ее концов параллельно биссектрисе угла а.

Образующая одного конуса равна / и составляет с высотой угол а.

Образующая другого конуса составляет с высотой угол р.

Найти объем тела вращения, если тупой угол равен а, а противолежащая ему сторона треугольника равна а.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна а, угол при основании равен а.

Этот треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину, противолежащую основанию, параллельно биссектрисе угла а.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, у которого радиус вписанной окружности равен г, а острый угол равен а.

Все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания один и тот же угол р.

В каком отношении эта плоскость делит боковую поверхность конуса, если угол между образующей и плоскостью основания равен а?

В основание шарового сегмента вписан прямоугольный треугольник, у которого площадь равна S, а острый угол равен ос.

Найти высоту сегмента, если его дуге в осевом сечении соответствует центральный угол, равный р\

Основанием прямой призмы ABCA,Bid (AA^BB^CCJ служит равнобедренный треугольник ABC (АВ—АС), у которого периметр равен 2р, а угол при вершине А равен а.

Через сторону ВС и вершину А, проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол (3.

Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно а, а угол между боковой гранью и плоскостью основания равен а.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол между диагоналями равен а.

Найти объем пирамиды, если все ее боковые ребра образуют с основанием угол р\

Образующая конуса равна / и составляет с высотой угол а.

Через две образующие конуса, угол между которыми равен (3, проведена плоскость.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого площадь равна S, а угол между боковыми сторонами равен а.

Все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания один и тот же угол.

Найти этот угол, если объем пирамиды равен V.

Острый угол ромба, лежащего в основании четырехугольной пирамиды, равен а.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, плоский угол при вершине пирамиды равен а.

Найти косинус плоского угла при вершине пирамиды.

Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.

Линейный угол двугранного угла, составленного двумя смежными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, в два раза больше плоского угла при вершине пирамиды.

Найти плоский угол при вершине пирамиды.

Найти эти углы.

Найти объем пирамиды, отсекаемой от данной пирамиды этой плоскостью, если двугранный угол при основании равен а.

Найти углы прямоугольного треугольника, если объем тела, полученного от вращения треугольника вокруг меньшего катета, равен сумме объемов тел, полученных от вращения треугольника вокруг его гипотенузы и вокруг большего катета.

Найти угол между смежными Соковыми гранями.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна я, плоский угол при вершине пирамиды равен а.

Найти косинус плоского угла при вершине пирамиды.

Боковые ребра и две стороны основания треугольной пирамиды имеют одну и ту же длину а, а угол между равными сторонами основания равен а.

Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Около шара описана прямая призма, основанием которой служит ромб с острым углом а.

Найти угол между большей диагональю призмы и плоскостью основания.

Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Основанием пирамиды служит равнобедренный остроугольный треугольник, у которого основание равно а, а противолежащий угол равен «.

Боковое ребро пирамиды, проходящее через вершину данного угла, составляет с плоскостью основания угол (3 Найти объем пирамиды, если высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания.

Окружность касания шаровой и конической поверхностей делит поверхность шара в отношении 1 : 4 Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды равен а.

Найти угол между апофемой и плоскостью основания пирамиды.

Образующая конуса равна / и составляет с плоскостью основания угол а.

Около шара радиуса R описана правильная п-угольпая пирамида, боковая грань которой составляет с плоскостью основания угол а.

Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол р1.

Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания угол а.

Найти полную поверхность вписанного в пирамиду конуса, если его образующая составляет с плоскостью основания угол а.

Найти угол между боковой гранью SBC и плоскостью основания, если боковая поверхность пирамиды относится к плвщади основания, как 11:4.

Радиус основания конуса равен R, угол между образующей и плоскостью основания равен а.

Угол между образующей и плоскостью основания равен а.

Угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды равен а.

Угол между боковым ребром и стороной большего основания равен а.

Высота конуса составляет с образующей угол а.

Через вершину конуса проведена плоскость под углом р ф>л/2—а) к плоскости основания.

©снованием пирамиды служит прямоугольный треугоЛьник, у которого один из острых углов равен'а.

Найти двугранные углы при основании, если высота пирамиды равна гипотенузе треугольника, лежащего в ее основании.

Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Высота правильной треугольной пирамиды равна Н и составляет с боковым ребром угол а.

ребро под углом р(р<я/2—а).

Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а; две боковые грани пирамиды перпендикулярны основанию, а большее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом р\ В пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед; одно его основание лежит в плоскости основания пирамиды, вершины другого основания лежат на боковых ребрах пирамиды.

Найти объем парал-пелепипеда, если его диагональ составляет с плоскостью основания угол а.

Основанием пирамиды служит равнобедренный остроугольный треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол между боковыми сторонами равен а.

Боковая грань пирамиды, проходящая через сторону основания, противолежащую данному углу а, составляет с плоскостью основания угол |3.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен ее.

В шар радиуса R вписана правильная усеченная четырехугольная пирамида, у которой большее основание проходит через центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол р.

Найти объем тела, образованного вращением треугольника ACD вокруг диаметра АВ, если вписанный угол, опирающийся на дугу АС, равен a (AC

Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен а.

Найти угол между пересекающимися диагоналями двух других боковых граней.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, угол между боковым ребром и плоскостью основания равен а(сс>я/4).

Высота правильной четырехугольной пирамиды образует с боковым ребром угол а.

Через вершину пирамиды параллельно диагонали основания проведена плоскость, составляющая угол р со второй диагональю.

Найти угол между образующей и высотой конуса.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза равна с, а меньший из острых углов равен а.

Наибольшее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол р.

Треугольник вращается вокруг прямой, лежащей в плоскости треугольника вне его, проходящей через вершину треугольника и составляющей со стороной угол а.

Боковая грань правильной треугольной пирамиды SABC составляет с плоскостью основания угол а.

Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания, если AD :DS^k.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом а между боковыми сторонами.

Через вершину квадрата, лежащего в основании правильной призмы, проведена плоскость параллельно противолежащей диагонали квадрата под углом ос к плоскости основания.

Найти углы многоугольника в сечении призмы этой плоскостью (предполагается, что высота призмы достаточно велика для того, чтобы этим сечением оказался четырехугольник).

Большее основание равнобедренной трапеции равно а, острый угол равен а.

Найти радиус окружности касания поверхностей шара и сектора, если центральный угол в осевом сечении шарового сектора равен а.

Меньшая диагональ составляет с меньшей стороной тупой угол, а с большей стороной •— угол а.

В сектор POQ радиуаа R с центральным углом а вписан прямоугольник; две его вершины лежат на дуге сектора, две другие — на радиусах РО и PQ.

Найти площадь прямоугольника, если острый угол между его диагоналями равен р.

В треугольнике ABC даны острые углы any (oc>v) при основании АС.

Найти радиусы этих окружностей, если центральный угол, опирающийся на дугу сегмента, равен сс(а<я).

Найти углы треугольника и допустимые значения т.

В параллелограмме даны две стороны а и b (a>fc) и острый угол a между диагоналями.

Найти углы параллелограмма.

В сегмент с центральным углом а вписан правильный треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой хорды сегмента, а две другие лежат на дуге сегмента.

Угол между их общими внешними касательными равен а радианам.

Найти острый угол между диагоналями параллелограмма.

Углы треугольника равны А, В и С.

Высота треугольника, проходящая через вершину угла В, равна Я.

Из середины большей стороны параллельная сторона видна под углом а.

Найти угол между высотой и медианой, проведенными к третьей стороне.

Найти углы трапеции и допустимые значения k.

Найти углы параллелограмма, если известно, что большая диагональ делит угол параллелограмма в отношении 1 : 2.

Найти косинус центрального угла, опирающегося на эту дугу.

В остроугольном треугольнике ABC известны углы.

Одни из плоских углов трехгранного угла равен а.

Двугранные углы, прилежащие к этому плоскому углу, равны (3 и у- Найти два других плоских угла.

Углы, которые образуют боковые грани с основанием, относятся, как 1:2:4:2.

Найти эти углы.

Найти угол при вершине осевого сечения конуса.

Найти угол между высотой пирамиды и ее боковой гранью.

Эта плоскость составляет с плоскостью основания пирамиды угол а.

Найти плоский угол при вершине пирамиды.

Найти поверхность тела вращения, если площадь прямоугольника равна S, а угол между диагоналями равен а.

Найти радиус шара, касающегося основания и боковых ребер правильной треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна a, a двугранный угол при основании равен а.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен а.

В сечении образовался треугольник с углом я/4 при вершине пирамиды.

Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, плоский угол при вершине равен а.

Найти объем пирамиды, если угол между образующей и высотой конуса равен а.

Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания и допустимые значения /г.

Найти угол между прямой.

Через вершину основания правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость, пересекающая противоположное боковое ребро под прямым углом.

Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.

4 на расстоянии ОА, равном а; на лучах ON и ОР взяты соответственно точки В и С так, что угол ABC равен а, а угол АСВ равен р.

Найти угол между образующей и плоскостью основания.

Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.

Угол между плоскостями двух равных прямоугольных треугольников ABC и ADC с общей гипотенузой АС равен а.

Угол между равными катетами АВ ч AD равен Р.

Найти угол между катетами ВС и CD.

Найти угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания.

Угол между диагоналями трапеции, противолежащий ее боковой стороне, равен а.

Отрезок прямой, соединяющий вершину верхнего основания с центром окружности, описанной около нижнего основания, равен I и'образует с плоскостью основания угол р.

В основании прямой призмы лежит параллелограмм с острым углом ос.

Диагонали призмы составляют с плоскостью основания углы Р и у (Р<7).

Боковое ребро равно Ь и составляет с пересекающими его сторонами основания углы а н Р.

Основанием призмы служит параллелограмм с острым углом а.

Боковое ребро, проходящее через вершину данного угла а, равно Ь и составляете прилежащими сторонами основания углы, каждый из которых равен (5.

В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм с диагоналями а л Ь (а>6) и острым углом а между ними.

Меньшая диагональ параллелепипеда образует с большей диагональю основания острый угол р.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен а.

Одна из диагоналей призмы равна а п составляет с плоскостью основания угол а, а с одной из боковых граней — угол р.

Отношение двух отрезков, заключенных между параллельными плоскостями, раино k, а углы, которые каждый из этих отрезков составляет с одной из плоскостей, относятся, как 2 : 3.

Найти эти углы и допустимые значения k.

Угол между плоскостью квадрата ABCD (AB\\CD) и некоторой плоскостью Р равен а, а угол между стороной АВ и той же плоскостью равен Р.

Найти угол между стороной АО и плоскостью Р.

Найти угол между этой плоскостью п плоскостью основания, если периметр сечения в три раза больше диагонали основания.

Найти двухгранный угол при основании пирамиды.

Найти косинус угла между двумя другими боковыми гранями, если они составляют с плоскостью основания угол а.

Основанием наклонной призмы служит прямоугольный треугольник с острым углом а.

Боковая грань, содержащая гипотенузу, перпендикулярна основанию, а боковая грань, содержащая катет, прилежащий к данному углу, составляет с основанием острый угол р.

Найти острый угол между третьей баковой гранью и основание,1».

Сторона ВС треугольника ЛВС, лежащего в основании наклонной призмы ABCAiB-iCi (ЛЛ1ЦЗВ1||СС1), равна а, прилежащие к ней углы равны Р и у.

Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания, если объем прпзкы равен V и ЛЛ1=Л1В=Л1С.

В основании четырехугольной пирамиды лежит равнобедренная трапеция с основаниями а и Ъ (а>2Ь) и углом ср между неравными отрезками ее диагоналей.

Углы, которые составляют с плоскостью основания боковые грани, проходящие через основания трапеции, относятся, как 1 : 2.

Боковая грань составляет с плоскостью основания угол а.

Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.

Найти угол между двумя смежными боковыми гранями и допустимые значения k.

В основании прямой призмы лежит параллелограмм с острым углом ф между диагоналями.

Диагонали каждой из смежных боковых граней пересекаются под углами аир (а>р), обращенными к соответствующим сторонам основания.

D состззляют с плоскостью основания углы, соответственно равные а и (J.

Найти косинус острого угла ромба, если cos а= 1/У~3 и cos fJ= l/Уа.

Угол между высотой пирамиды и боковым ребром равен a (oK.

i, составляет с плоскостью нижнего основания цилиндра острый угол ее, а прямая АВ^ составляет с той же плоскостью угол и.

Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол а.

Боковое ребро составляет с основанием угол а, а диагональ пирамиды с основанием — '-тол р.

Боковая грань составляет с плоскостью основания угол а.

" игус шара, вписанного'в правильную треугольную пирамиду, высота которой равна Н, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен а.

Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Найти угол между плоскостью основания конуса п прямой, проходящей через центр верхнего основания цилиндра и произвольную точку окружности основания конуса.

Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция с острым углом а.

Найти объем пирамиды, если образующая конуса равна I и составляет с высотой угол р.

Основанием пирамиды ABCF служит равнобедренный треугольник ABC, у которого угол между равными сторонами АВ и АС равен сс(а< <л/2).

Найти угол между этой плоскостью и гранью ABCD.

Найти угол между боковой гранью пирсмиды и плоскостью основания и допустимые значения k.

Две силы приложены к одной точке и направлены под прямым углом.

Из этого листа изготовлена открытая сверху коробка таким образом, ч~о по углам листа вырезано по квадрату со стороной 3 см и получившиеся края загнуты.

К материальной точке приложены две силы, угол между которыми равен 30°.

На какой угол переместится секундная стрелка часов за время, прошедшее от на-' чала движения частиц до их встречи?

Выйдя из вершины этого угла, она через некоторый промежуток времени оказалась на расстоянии а от одной стороны угла и па расстоянии b от другой стороны.

Величины двух сил, действующих на материальную точку под прямым углом, и величина их равнодействующей составляют арифметическую прогрессию.

Сооружается участок железнодорожной насыпи длиной 100 м, поперечным сечением которого является равнобедренная трапеция с нижним основанием 5 м, верхним основанием, не меньшим 2 м, и углом откоса 45J.

Доказать, что если А и В — острые углы некоторого прямоугольного треугольника, то sin 1A + sin 2В = 4 sin A sin В.

Вдоль сторон прямого угла по направлению к вершине движутся два шара.

с радиусами 2 и 3 см, причем центры этих шаров перемещаются по сторонам угла с неравными, но постоянными скоростями.

Две точки Л и В, первоначальное расстояние между которыми равно'о, одновременно начали двигаться по рлгным сторонам прямого угла к его вершине с одной н той же по " и ьч ' ючка В достигает вершины на / единиц врс ti.

Доказать, что если sina = )/2l/7, sinp = J/21/14 и а, Р — острые углы, то сс + Р = 60'.

Найти sin20° двумя способами: по формуле синуса двойного угла и формуле синуса разности углов 30 и 10°.

Существует ли угол, для которого косинус был бы равен: а)а + -- при а=^0; б) 316

Существует ли такой угол, для которого числа 2 + 1/"3 и 2 — \^3 являются соответственно его тангенсом и котангенсом?

Построить острый угол, тангенс которого в два раза больше его синуса.

9 (a — острый угол).

Доказать, что если отношение косинусов двух углов треугольника равно отношению синусов тех же углов, то треугольник равнобедренный.

Доказать, что для любого треугольника со сторонами а, Ь, с и углами А, В, С, лежащими соответственно против этих сторон, справедливо равенство я (sin В—sin С) + b (sin С — sin Л) + с (sin А—sin?

Пусть А, В, С — углы треугольника, причем С —тупой угол.

Доказать, что во всяком треугольнике сумма попарных произведений котангенсов всех углов равна единице.

Доказать, что для всякЬго треугольника со сторонами a, b и с и углами А, В, С его площадь S можно определить.

Для каких углов первой четверти выполняется неравенство sinct>sin2a?

Пусть А, В, С — углы треугольника.

каким углом к оси Ох наклонена касательная к графику функции g(х) — хг Inх в точке *„=!

Определить, под каким углом синусоида г/ = = (1/1/^3) siriS* пересекает ось абсцисс в начале координат.

В каких точках касательная к графику функции Дл) = = (1/3) х3—(5/2) х- -\- 7х—4 образует с осью Ох угол 45°?

Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведенная к кривой г/= 2,t3— х в точке ее пересечения с осьюОг/?

Под каким углом к оси Ох наклонена касательная, проведенная к кривой у = х3—.

Найти угол, который образует с осью ординат касательная к кривой г/= (2/3)х5 — (1/9)х3, проведенная в точке с абсциссой х=1.

В каких точках касательная к графику функции у = — (х + 2)/(х—2) образует с осью Ох угол 135°?

Требуется: а) со/ V з /ставить уравнение касательной к графику данной функции в точке с абсциссой х = п/6 (окончательные числовые значения округлять до второго десятичного знака); б) установить, в каких точках промежутка О^лг^я касательная к графику данной функции составляет с осью Ох угол 60е.

3 "^ V 6 ти: а) угол, образованный с осью Ох касательной к графику данной функции в точке с абсциссой я = л/3; б) точки минимума на промежутке [0; л].

Найти площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к кривой y = ]fx* — 5 в точке М (3; 2).

Угол а, на который повернется колесо.

Найти точки экстремума функции у = е~х — е~2х и угол между осью Ох и касательной к графику данной функции в точке с абсциссой х = 0.

Найти точки экстремума функции y~e~xsinx и угол между осью Ох и касательной к графику данной функции в точке с абсциссой х=0.

В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и делают открытую коробку, загибая края под прямым углом.

В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе.

Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами 18, 24 и 30 см и имеющего с ним общий прямой угол.

В равнобедренный треугольник с длинами сторон 15, 15 и 18 см вписан параллелограмм наибольшей площади так, что угол при основании у них общий.

Каков должен быть угол при большем основании, чтобы площадь трапеции была наибольшей?

Боковая грань правильной четырехугольной пирамиды имеет постоянную заданную площадь и наклонена к плоскости основания под углом а, При каком значении « объем пирамиды являете я на и бол ын им?

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет постоянную заданную длину н составляет с плоскостью основания угол а.

В правильной треугольной ' пирамиде боковая грань имеет заданную постоянную площадь н составляет с плоскостью основания угол а.

Образующая конуса имеет постоянную длину н составляет с высотой конуса угол а.

Доказать, что в прямоугольном треугольнике величина угла между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе, равна модулю разности величин острых углов треугольника (рис.

/11 Положим ,/ ОСЕ =-- /_ х, тогда ^ DCA= {_ В (так как оба угла дополняют угол А до ™/2).

< что угол.

В прямоугольном треугольнике найти биссектрису прямого угла, если гипотенуза треугольника равна с, а один из острых углов равен а.

Тангенс тупого внешнего угла прямоугольного треугольника равен k.

Найти тангенс острого угла треугольника, не смежного с данным внешним углом.

Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными к гипотенузе.

Из каких точек плоскости данный отрезок виден под данным углом?

Каково наибольшее возможное число острых углов в произвольном выпуклом многоугольнике?

Какую фигуру образует множество ортоцентров (точек пересечения высот) всех треугольников, имеющих общую сторону при условии, что углы, противолежащие этой стороне, равны?

В круге радиуса 4 м найти длину хорды, которая видна из любой точки меньшей дуги окружности под углом 135°.

В круге радиуса а найти длину хорды, которая из любой точки большей дуги окружности видна под углом 30°.

На основании ВС построить треугольник с той же площадью, но с углом при вершине В, р'авшм половине угла В данного треугольника.

Биссектриса острого угла параллелограмма делит его диагональ на отрезки длиной 3,2 и 8,8 см.

Биссектрисы углов, прилегающих к одной из параллельных сторон произвольной трапеции, пересекаются под прямым углом.

В нем проведена биссектриса наименьшего угла.

Найти сумму углов АОВ и COD.

Углы треугольника относятся, как 2:3:7.

Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Найти углы треугольника.

Сторона АВ треугольника видна из вершины С под углом а.

Под каким углом она видна из центра окружности, описанной около треугольника?

Рассмотреть три случая: С — вершина острого, прямого или тупого угла;

Доказать, что угол С треугольника ABC является прямым в том и только в том случае, если длины сторон этого треугольника связаны равенством ЛЯ2=ЛС2+ВС2 (прямая и обратная теоремы Пифагора).

Под каким углом они наклонены к плоскости основания, если площадь полной поверхности пирамиды в 1,5 раза больше площади ее боковой поверхности?

Под каким углом ребро АВ видно из середины ребра SC?

Под какими углами боковые грани пирамиды наклонены к плоскости ее основания?

Найти косинус острого угла между прямыми АЕ и BF, если образующая конуса есть среднее пропорциональное между диаметрами оснований и составляет с плоскостью основания угол а(оО>я/3).

Двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды равен а, а вйсота пирамиды равна Н.

Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью основания угол а.

Найти угол между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба.

Найти наименьшее целое число градусов, которое может содержать плоский угол трехгранного угла, обладающего следующим свойством: каждый из плоских углов содержит целое число градусов, причем эти три числа составляют арифметическую прогрессию с разностью 50°.

Найти угол между высотой и образующей конуса и допустимые значения k.

Найти угол между образующей и плоскостью основания и допустимые значения k.

Какую фигуру образует множество точек пересечения биссектрис всех треугольников, имеющих общую сторону, при условии, что углы, противолежащие этой стороне, равны?

Доказать, что если наклонная образует равные углы с тремя попарно непараллельными прямыми, лежащими в одной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 9 и 8 см, вписана в конус, образующая которого наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Найти угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости ее основания.

Найти площадь полной поверхности конуса, если его боковую поверхность можно развернуть в круговой сектор с радиусом S и с прямым центральным углом.

Одно из боковых ребер наклонного параллелепипеда составляет равные острые углы с прилежащими к нему сторонами нижще!

Вершина большого острого угла основания принадлежит боковому ребру, имеющему длину 72 см и перпендикулярному плоскости основания.

Через диаметр полукруга проведена плоскость под углом 45° к плоскости полукруга.

Угловой коэффициент k представляет собой значение тангенса угла, образуемого прямой с положительным направлением оси Ох, а начальная ордината q — значение ординаты точки пересечения пряной с осью Оу.

18) где ф — угол между векторами а и 6.

Найти единичный вектор, коллинеарньш вектору, направленному по биссектрисе угла ВАС треугольника ABC, если заданы его вершины: Л(1; 1; 1), В(3; 0; 1), С (0; 3; 1).

3), а следовательно — биссектрисой угла ВАС, причем AD (\\ 1; 0) и ^01 — 1^2.

В прямоугольной системе координат изображена равнобедренная трапеция с основаниями 6 и 10 и углом ср = 60э при основании (рис.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку (2; 3) и образующей с осью Ох угол 120°.

Доказать, что ABCD — трапеция, и найти угол а между ее диагоналями.

Доказать, что треугольник с вершинами Л (2; 1), В (3; 0), С(1; 5) тупоугольный, и найти косинус тупого угла.

Найти угол между векторами DC и AM.

Найти угол между векторами MN и DC, если М^АА^ и ЛМ:МЛ1=1:2; NM^CC, и C/V:JVC = 2:1.

Медианы боковых сторон равнобедренного треугольника пересекаются под углом 60-°.

Найти угол при вершине треугольника.

Векторы а, о, с лежат в одной плоскости и образуют попарно друг с другом углы 2л/3.

Найти величину угла ЛОВ, если ОА--ЪВ = ОС.

Дан прямоугольный треугольник ЛВС; ^/С = 90°, D—основание высоты, проведенной из вершины прямого угла.

Даны единичные векторы т, пир такие, что т_\_п, п J_ Р и угол между т и п равен 60°.

Найти угол между ненулевыми векторами а и Ь, если (а—F)3 + (2o —Ь)2 = 56, |а| = 2 и |&| = 3.

Вектор О А составляет с осями Ох, Оу и Oz углы, соответственно равные а = л/3, p = n/3, y — h/4; точка В имеет координаты (—2; •—2; —2 У2).

Найти угол между векторами Ш и 0В.

Найти угол, образуемый вектором а — Ь с осью Ог,

Доказать, что если биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла перпендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла перпендикулярна каждой из них.

Найти угол между медианами катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, обращенный к гипотенузе.

Найти острый угол между прямыми BDl и Л,О.

Найти угол между стороной С/1 и медианой, проведенной из вершины С.

В тетраэдре ОЛВС плоские углы трехгранного угла при вершине О — прямые.

Является ли угол ЛВС острым или тупым?

Найти вектор х, если он перпендикулярен векторам а и Ь, образует с осью Оу тупой угол, а его длина равна 14,

В треугольнике ABC угол при вершине А равен 60°, ЛВ(4; 2; 4), ЛС=1.

На какие части вектор СМ делит угол С?

Доказать, что луч СМ, где С — вершина прямого угла треугольника ABC, a M — центр квадрата, построенного на гипотенузе и лежащего вне его, есть биссектриса угла С.

Высота конуса равна 3; угол между'высотой и образующей равен 45°.

Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние 5У'2~, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45°, а между собой угол 6.

Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3 см и углом 60° вращается вокруг меньшего основания.

Через вершину конуса проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол, косинус которого равен 1/3, и отсекающая на окружности основания дугу в 90°.

Биссектрисы тупых углов этой трапеции пересекаются в точке, лежащей на основании.

Найти длину боковой стороны, если угол при основании трапеции равен я/6.

Найти синус большего острого угла прямоугольного треугольника, если радиус окружности, описанной около треугольника, в 2,5 раза больше радиуса вписанной окружности.

На ребре двугранного угла в 120° взят отрезок ЛВ = 3 см; из его кои-цов в различных гранях к нему восставлены перпендикуляры ЛС=1 сы и ED = 2 см, Вычислить расстояние между точками С и D.

Угол.

Найти длину отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной, проведенной к линии у=8/х^ в точке ее пересечения с биссектрисой первого координатного угла.

В параллелограмме ABCD (ЛВ ||С7)) биссектриса тупого угла /3 пересекает сторону AD в точке /•'.

Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 60°.

Найти тангенс острого угла между медианами, проведенными к катетам.

Найти наименьший положительный угол (в градусах), удовлетворяющий уравнению 2 cos2 (270°-fa) +?

Известно, что точка пересечения прямых 2х-\-у---9 и кх-}-5у—1& принадлежит биссектрисе первого координатного угла.

V+10, образует с осью абсцисс угол 45°.

Биссектриса AD равнобедренного треугольника ABC составляет с основанием АС угол, тангенс которого равен 0,5.

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 2 см, тангенс двугранного угла при основании равен 4/3.

Около круга радиуса У^З см описана равнобедренная трапеция с острым углом 60°.

Образующая конуса равна 2 см и составляет с плоскостью основания угол 30°.

Найти объем описанной около конуса пирамиды, основанием которой служит ромб с тупым углом 150°.

С — внутренние углы некоторого треугольника, доказать спраьсд пнвость равенств (3.

Доказать, что если sin a =1/3, sin P = l/(3 V~\), slnv = 3/)/"Ti (a, P и 7 — острые положительные углы), то а-г-^+7 = 900

Пусть А, В и С — внутренние углы некоторого треугольника.

Пусть А, В и С — внутренние углы некоторого треугольника.

Пусть Л, В и С — внутренние углы некоторого треугольника.

Доказать следующее утверждение: для того чтобы в треугольнике ЛВС одни из углов был равен 60°, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство sin ЗЛ-f sin ЗВ + sin ЗС= 0.

Доказать следующее утверждение: для того чтобы в треугольнике ABC одни из углов был равен 36" или 10SJ, достаточно, чтобы выполнялось равенство sin 5/4 +sln 5В + sin 5C = 0.

Доказать следующее утверждение: для того чтобы один из углов треугольника ABC был равен 36° пли 108°, необходимо, чтобы выполнялось равенство sin 5A -f-sln 5В -j-sin 5C = 0.

Пусть /4, В, С — углы треугольника.

В, С— углы треугольника.

Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого многоугольника, наименьший угол которого равен 120°, образуют арифметическую прогрессию с разностью 5°.

В угол, содержащий 60°, вписаны пять окружностей так, что каждая последующая окружность, начиная со второй, касается предыдущей.

Один из углов прямоугольного треугольника удовлетворяет уравнению sin3;c+ sin л: sin 2л: — Зсоз3лг = 0.

Показать, что не существует треугольника, каждый угол которого удовлетворял бы уравнению (Зсозл;— 2)(14зш2л:+зт2л:— 12) = 0.

Показать, что существуют треугольники, у которых каждый угол удовлетворяет уравнению (65 sin*— 56) (80— 64 sin*— 65 cos2 л:) = 0.

Найти эти углы

Показать, что треугольник, каждый из углов которого удовлетворяет уравнению 3tgx — 3tg(#,/2) — 2|/^3 = 0, является равносторонним.

Найти углы а, р и у первой четверти, если известно, что они составляют арифметическую прогрессию с разностью я/12, а их тангенсы составляют геометрическую прогрессию.

Произвольный треугольник (а, Ь, с — стороны; а, Р, у — противолежащие им 'углы; р — полупериметр; /?

П р о и з в о л ь и ы и в ы п у к л ы и ч е т ы р е х у г о л ь н и к (d^ и rf2 — диагонали; <р— -угол между ними; S — площадь):

Параллелограмм (а и i — смежные стороны; а — угол между ними; /!

Сектор (/ — длина дуги, ограничивающей сектор, п° — градусная мера центрального угла; а — радианная мера центрального угла)

' (по условию) и

BCD (вследствие равенства углов), откуда Oi:6i = a:6.

6) к треугольникам с равными углами BCD и ACD, составим уравнение

>С подобны (угол С —общий); следовательно, ВС:АС = BD:AE, или у:х = = 10:12 = 5:6.

Найти площадь прямоугольника, вписанного в данный треугольник так, что одна его вершина совпадает с вершиной прямого угла, а противоположная вершина—с точкой касания окружности и гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла; отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету.

Найти углы треугольника.

Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки длиной т и п.

В прямоугольный треугольник с катетами а и b вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол.

и углом 90° вписана окружность, касающаяся отрезков ОЛ, 0В и дуги АВ.

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна т и делит прямой угол в отношении 1 : 2.

Определить острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 1: 2.

В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со стороной, равной 6 см, так, что угол в 60° у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника.

Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол содержит 60'.

Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1 : 3.

Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, пересекаются под прямым углом.

Величина одного из углов параллелограмма равна 60°, а меньшая диагональ 21/31 см.

Одни из углов трапеции равен 30°, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом.

Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90 и 603.

Окружность касается большего катета прямоугольного' треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет центр на гипотенузе треугольника.

В острый угол, равный 60", вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга.

Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла.

В параллелограмме ABCD высота, проведенная из вершины В тупого угла на сторону DA, делит ее в отношении 5 : 3, считая от вершины D.

В равнобедренный треугольник с углом 120° при вершине и боковой стороной- а вписана окружность.

В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общин, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 2 : 3.

В круговой сектор с центральным углом 120° вписан круг.

Найти биссектрису угла при основании треугольника.

Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18 см.

Доказать, что если в четырехугольнике диагонали лежат на биссектрисах его углов, то такой четырехугольник есть ромб.

Площадь прямоугольника равна 9 см2, а величина одного из углов, образованного диагоналями, равна 120°.

Найти площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если ее большее основание равно а, а угол при меньшем основании равен.

В окружность радиуса R вписан треугольник с углами

Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен л/3.

Определить его высоту, проведенную к гипотенузе, если она делит прямой, угол в отношении 1 : 2.

Определить стороны трапеции, если угол при основании содержит 30°.

Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам.

Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 120°, если радиус вписанного круга равен v/12 см.

В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата углы в 60°.

Данный квадрат со стороной а срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник.

Вычислить площадь прямоугольной трапеции, если ее острый угол равен 60°, меньшее основание равно а и большая боковая сторона равна Ъ.

Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен л/6.

Найти ее длину, если длина меньшего катета 30 см, а хорда, соединяющая вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы и полуокружности, равна 24 см.

В ромб с острым углом 30° вписан крут, площадь которого равна Q.

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см.

В прямоугольнике проведены биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне.

Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна Н, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60°.

Через вершину прямого угла прямоугольного треуголь ника с катетами 6 и 8 см проведен перпендикуляр к гипотенузе.

Основания трапеции равны а и Ь, углы при большем основании равны я/6 и я/4.

В ромб с острым углом 30°- вписан круг, а в круг — квадрат.

Определить радиус этого круга, если угол при основании трапеции равен 30°.

Внутри прямого угла дана точка М, расстояния которой от сторон угла равны 4 и 8 см.

Прямая, проходящая через точку М, отсекает от прямого угла треугольнике площадью 100 см3.

Точка d — середина стороны А В треугольника ABC; угол COCi, где О — центр окружности, описанной около треугольника, является прямым.

Найти величину угла С.

Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом ее основании.

В треугольник вписан ромб со стороной т, так, что один угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки длиной р и

Вычислить, в каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису угла С.

Доказать, что центр вписанной окружности делит биссектрису угла при основании в отношении (a-rb) : Ь, считая от вершины угла.

В некоторый угол вписана окружность радиуса 5 см, Длина хорды, соединяющей точки касания, равна 8 см.

Из вершины острого угла ромба проведены перпендикуляры к прямым, содержащим стороны ромба, которым не принадлежит эта вершина.

Определить радиус этой окружности, если меньший катет треугольника равен 7,5 см, а длина хорды, соединяющей вершину прямого угла с точкой пересечения гипотенузы и окружности, равна 6 см.

Около круга радиуса 3 описан равнобедренный треугольник с острым углом 30° при основании.

Две окружности, радиусы которых 4 и 8, пересекаются под прямым углом.

Найти угол, определяемый хордами, соединяющими точку касания окружностей с точками касания их общей внешней касательной.

Найти стороны треугольника, если центр вписанной_ окружности удален от вершины прямого угла на расстояние \' 8 см.

Один конец диаметра полуокружности совпадает с вершиной угла при основании равнобедренного треугольника, а другой принадлежит этому основанию.

Найти среднюю линию равнобедренной трапеции с высотой h, если боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 120°.

В равнобедренном треугольнике угол при основании содержит 72°, а биссектриса этого угла имеет длину, равную т.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит 36°, а биссектриса угла при основании равна 1^20.

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной Ь, проведены биссектрисы углов при основании.

Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании G боковыми сторонами треугольника.

Внутри угла в 60° расположена точка, отстоящая на расстояния У~/ и 2]/ 7 ем от сторон угла.

Найти расстояние этой точки от вершины угла.

В угол впксаиы три окружности — малая, средняя и большая.

В угол, содержащий 60°, вписаны пять окружностей так, что каждая последующая окружность (начиная со второй) касается предыдущей.

Через точку Р диаметра данной окружности проведена хорда АВ, образующая с диаметром угол 60°.

Найти третью сторону остроугольного треугольника, если две его стороны равны а и b и известно, что медианы этих сто-,рон пересекаются под прямым углом.

Найти биссектрису прямого угла треугольника, у которого катеты равны а и Ь.

Определить углы равнобедренного треугольника, если его площадь относится к площади квадрата, построенного на его основании, как 1/3:12.

В окружность вписан четырехугольник с углами 120, 90, 60 п 90°.

Найти площадь треугольника, вписанного в круг радиуса 2 см, если два угла треугольника равны л/3 и я/4.

В ромб со стороной а и острым углом 60° вписана окружность.

В некоторый угол вписана окружность радиуса R, a длина хорды, соединяющей точки касания, равна а.

Площадь равнобедренной трапеции, описанной" около круга, равна 32 см2; острый угол трапеции равен 30°.

Из вершины тупого угла В проведены две высоты BE и BF.

'Отношение величин Двух углов треугольника равно 2, а разность длин противоположных им сторон равна 2 см; длина третьей стороны треугольника равна 5 см.

В окружности с центром О проведена хорда АВ, пересе-, кающая диаметр в точке-М и составляющая с диаметром угол, равный 60°.

В прямоугольнике со сторонами а и & проведены биссектрисы всех углов до взаимного пересечения.

Проекция вершины прямого угла на гипотенузу делит ее на два отрезка, из которых меньший относится к большему, как больший ко всей гипотенузе.

Найти углы параллелограмма, если

Найти зависимость между:углами А и В.

В треугольнике ABC величина угла А вдвое больше величины угла В, а длины сторон, противолежащих этим углам, соответственно равны 12 н 8 см.

Определить острые углы прямоугольного треугольника, если отношение радиусов описанной и вписанной окружностей равно V 3+1.

Найти зависимость между углами А и В, если СС1=С^А-С^В.

Высота треугольника, равная 2 см, делит угол треугольника в отношении 2 : 1, а основание треугольника — на части, меньшая из которых ^>авна 1 см.

Показать, что медиана CN образует со сторонами АС и ВС такие же углы, что и медианы ВМ и AL со стороной АВ.

Показать, что угол В равен 60°.

388, Расстояния от центра окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, до вершин его острых углов равны У 5 и 1^10.

Найти углы треугольника.

Вычислить площадь треугольника по двум сторонам а и Ъ и биссектрисе / угла между ними.

Даны два правильных треугольника площади S, из которых второй получен при повороте первого треугольника вокруг его центра на угол ЗО3.

Высота треугольника, равная 2 см, делит угол треугольника в отношении 2:1, а основание треугольника на части, меньшая из которых равна 1 см.

В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла отсекает на гипотенузе отрезки длиной а и Ь.

Из каждой вершины основания равностороннего треугольника со стороной а проведены два луча, образующие с этими основаниями углы 15 и 30°.

Через точку М, расположенную на диаметре окружности радиуса 4 см, проведена хорда АВ, образующая с диаметром угол 30°.

Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих двух условий: а) все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы; б) длины всех боковых ребер равны.

SAnO — углы, образуемые

Согласно условию а), • эти углы равны; поэтому равны и прямоугольные треугольники SOAt, SOA^,.

Пусть в пирамиде выполняется одно из следующих двух условий: а) все боковые грани образуют с основанием равные углы; б) длины всех апофем боковых граней равны.

Тогда вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис углов в основании пирамиды).

, ОВп на плоскость основания перпендикулярны сторонам основания (по теореме о трех перпендикулярах) и, следовательно, выражают расстояния от О до этих сторон, а углы SB^O, SBnO,.

,, SBnO являются линейными углами соответствующих двугранных углов.

Согласно условию а), эти углы равны, поэтому равны и прямоугольные треугольники

составляет равные углы со сторонами основания, образующими вершину А± (рис.

3), то основание О высоты BiO лежит на биссектрисе угла А\.

Итак, точка О равноудалена от сторон и равные углы и Д В,ОС = Д Bj угла AI и, значит, лежит на биссектрисе A-f) угла А\,

Это же утверждение можно сформулировать так: если в трехгранном угле два острых плоских угла равны, -то проекция их общего ребра на плоскость третьего плоского угла является его биссектрисой.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с, и острым углом 30°.

Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен 45°.

Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен 90°.

В прямом параллелепипеде стороны основания равны а к Ь, острый угол между ними содержи* 60°.

Основанием правильной пирамиды служит многоугольник, сумма внутренних углов которого равна 720°.

Определить объем пирамиды, если ее боковое ребро, равное /, составляет с высотой пирамиды угол 30°.

Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна Л, а двугранный угол при основании равен 60°.

Найти полную поверхность правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой равна а, а двугранный угол при основании равен 60°.

Основание четырехугольной пирамиды — прямоугольник с диагональю, равной Ь, и углом 60° иежду диагоналями.

Каждое из боковых ребер образует с плоскостью основания угол 45°.

Все боковые ребра наклонены к плоскости основа: ния под углом 60°.

В основании наклонной призмы лежит параллелограмм со сторонами Зяб дм и острым углом 45°.

Боковое ребро призмы равно 4 дм и наклонено к плоскости основания под углом 30°.

Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30°, а сторона основания равна а.

Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45".

Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью основания угол 45°.

Определить объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°, а площадь диагонального сечения равна 5.

Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 30е.

Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45°.

В основании прямого параллелепипеда лежит параллелограмм со сторонами 1 и 4 см и острым углом 60°.

Одна из боковых граней — также квадрат, другая — ромб" с углом 60'.

Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные двугранные углы, содержащие по 45°.

Определить объем прямоугольного пареллелепипеда, диагональ которого равна / и составляет с одной гранью угол 30°, а с другой 45°.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно / и наклонено к плоскости основания под углом 60°.

Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна d и составляет с боковым ребром призмы угол 30°.

Диагональ параллелепипеда наклонена к боковой грани, содержащей сторону основания, равную Ь, под углом 30°.

Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Найти -объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит равносторонний треугольник со стороной, равной а, если боковое ребро призмы равно стороне основания и наклонено к плоскости основания под углом 60°.

Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой плоский угол при вершине равен 90°, а сторона основания равна 3 см.

Найти боковую поверхность правильной треугольной призмы с высотой h, если прямая, проходящая через центр верхнего основания и середину стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом 60°.

Две боковы^ грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к нему под углом 45°.

Найти объем и полную поверхность правильной четырехугольной пирамиды,- сторона основания которой равна а, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°.

Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна Л, а все плоские углы при вершине прямые.

Найти боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если плоский угол при ее вершине равен 90°, а площадь основания равна S.

В прямом параллелепипеде стороны основания равны а и Ъ и образуют угол 30°.

Определить объем шара, вписанного в правильную пирамиду, у которой высота равна h, а двугранный угол при основании равен 60°.

Радиус основания конуса равен R, а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен 90°.

Равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3 см и острым углом 60° вращается вокруг меньшего основания.

Боковая поверхность конуса развернута на плоскости в сектор, центральный угол которого содержит 120°, а площадь равна 5.

Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и плоскими углами при вершине, равными углам наклона боковых ребер к основанию.

В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен 120°.

Основанием пирамиды служит параллелограмм ABCD, имеющий площадь т2 и такой, что BD _|_ AD; двугранные углы при ребрах AD и ВС равны 45°, а при ребрах А В и CD равны 60° Найти боковую поверхность и объем пирамиды.

Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной а и острым углом 30°.

Диагональ одной боковой грани перпендикулярна плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°.

Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, основание которого равно а, а угол при нем равен 45°.

Куб, ребро которого равно а, срезан по углам плоскостями T3Kt что от каждой грани остался правильный восьмиугольник.

В основании четырехугольной пирамиды лежит прямоугольник, площадь которого равна 5; боковые ребра пирамиды равны и образуют с плоскостью основания угол 45°.

Угол между диагоналями основания равен 60°.

Определить объем отсеченной пирамиды, если сторона основания первоначальной пирамиды равна а, а двугранный угол при основании содержит 45°.

Определить объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если сторона большего основания равна а, сторона меньшего основания равна Ъ, а острый угол боковой грани равен 60°.

Через вершины А, С и D± прямоугольного параллелепипеда ABCDAiBiCiDi проведена плоскость, образующая с плоскостью основания-двугранный угол 60°.

Найти объем правильной треугольной пирамиды, у которой плоский угол при вершине равен 90°, а расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания равно d.

В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость, составляющая с плоскостью нижнего основания угол 45°.

Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной с, и острым углом 30°.

Через гипотенузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 45°.

Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм, один из углов которого равен 30°.

Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной, равной а, и острым углом 60°.

Ребро АА1 также равно а и образует с ребрами АВ и AD углы 45°.

Боковое ребро равно / и наклонено к плоскости основания под углом 60°.

Длина бокового ребра равна Ъ, а одно из боковых ребер образует с прилежащими сторонами основания углы 45°.

В треугольной пирамиде, каждое из боковых ребер которой равно а, один плоский угол при вершине пирамиды прямой, а каждый из остальных равен 60°.

Высота пирамиды проходит через вершину острого угла ромба.

Через сторону верхнего основания проведена плоскость, которая составляет с плоскостью основания угол 45° и делит призму на две части.

Ребра, длины которых равны а и Ь, взаимно перпендикулярны, а ребро длиной с образует с каждым из них угол 60°.

Основанием прямого параллелепипеда служит параллелограмм с углом 120° и сторонами 3 и 4 см.

Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами 30 и 60°.

Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 30°.

В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная усеченная пирамида, у которой плоскость нижнего основания проходит через центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 60°.

На ребре двугранного угла 120° взят отрезок длиной с н из его концов проведены перпендикуляры к нему, лежащие в различных гранях данного двугранного угла и имеющие длины а и Ь.

Развернутая на плоскости боковая поверхность конуса представляет собой сектор с углом 60°.

Разверткой боковой поверхности этого конуса является сектор с центральным углом 120°.

Боковые ребра пирамиды равны, а боковые грани, проходящие через катеты, составляют с плоскостью основания углы 30 и 60°.

Радиус основания конуса равен R, а угол развертки его боковой поверхности равен 90°.

Некоторое плоское сечение этой призмы отсекает от боковых ребер, проходящих через вершину большего и среднего угла основания, отрезки, равные 12 см каждый, а от ребра, проходящего через вершину меньшего угла основания,— отрезок в 18 см.

К нему примыкают две смежные грани, у которых площади равны т3 и л2, а их плоскости образуют угол 30Р.

Из трех плоских углов образованных этими ребрами при вершине пирамиды, два содержат по 45°, а третий — 60°.

Доказать, что объемы двук треугольных пирамид, имеющих по равному трехгранному углу, относятся, как произведения длин трех ребер равных трехгранных углов.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды -равна а, а боковое ребро составляет с высотой угол 30°.

В параллелепипеде имеются трехгранные углы, составленные тремя острыми углами ромбов.

Длины боковых ребер треугольной пирамиды равны а, Ь и с; плоские углы, образованные этими ребрами,— прямые.

Найти ее полную поверхность, если плоскость, проведенная через вершину основания пирамиды перпендикулярно противоположной боковой грани, составляет с плоскостью основания угол 30°.

Найти величину угла и расстояние между прямыми, одна из которых проходит через точку 5 и середину ребра АС, а другая через точку С и середину ребра АВ.

такой, в котором прямые, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке, то: а) каждые два его противоположных ребра взаимно перпендикулярны; б) если один из плоских углов при какой-либо вершине тетраэдра прямой, то и другие два плоских угла прямые; в) суммы квадратов длин его противоположных ребер равны; г) любая его вершина проектируется в ортоцентр противоположной грани (точку пересечения прямых, содержащих высоты грани).

м тетраэдре ABCD угол ADC прямой.

В ортоцеитрическом тетраэдре ABCD угол ABC прямой; SlP 5г, S3—площади граней ВАС, BAD, BCD соответственно.

Пусть известны длины бис двух сторон треугольника ЛВС и угол Л, образуемый ими (рис.

Тогда длина биссектрисы АО треугольника, проведенной из вершины этого угла, выражается формулой

Справедливы следующие соотношения между элементами шара и вписанного в него конуса: ; (а) = 2ЯЯ, (б) где R — радиус шара, / — длина образующей конуса, /7 — его высота, а — угол между образующей и плоскостью основания.

Такие же соотношения справедливы и для вписанной в шар пирамиды, боковые ребра которой имеют длину / и составляют с плоскостью основания угол а.

Пусть a — угол наклона бокового ребра правильной п-угольной пирамиды к плоскости основания, 8 — угол наклона ее боковой грани к плоскости

4 основания, <р — плоский угол при вершине пирамиды, а — двугранный угол между смежными боковыми гранями (рис.

Па) Пусть О — центр правильного п-уголышка, служащего основанием пирамиды; HI — угол при вершине этого л-угольника.

Она принадлежит также биссектрисе ЛгО угла при вершине Л!

основания пирамиды и биссектрисе DE угла Л2ОЛ„.

Угол при основании остроугольного равнобедренного треугольника ABC (ЛВ = ВС) равен а.

C, так как оба угла дополняют угол KAD до 90°).

Основание пирамиды — прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а один из острых углов равен а.

Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол р.

В конус, образующая которого наклонена к основанию под углом а, вписал шар.

Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, высота которой равна Н, а величина плоского угла при вершине равна ф (рис.

Д Введем вспомогательный угол <х=^ 5Л20.

Используя связь между введенным углом а и известными углами ф и

Сумма двух неравных высот равнобедренного треугольника равна /, угол при вершине равен а.

Угол при основании равнобедренного треугольника равен а.

В ромбе через вершину острого угла, равного а, проведена прямая, делящая этот угол в отношении 1:2.

В каком отношении прямая MN делит площадь квадрата, если острый угол AMN равен а (я/4 ^ a ^jri/2)?

Высота равнобедренной трапеции равна Л, а угол между ее диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а.

В прямоугольном треугольнике даны его площадь S и острый угол а.

В параллелограмме со сторонами а и Ь и острым углом а найти тангенсы углов, образуемых большей диагональю параллелограмма с его сторонами.

Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при вершине равен а.

Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция с острым углом а при основании.

Найти угол, заключенный между сторонами а и Ь.

Найти сумму тангенсов острых углов треугольника.

Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен «.

Общая внешняя касательная двух внешне касающихся окружностей составляет с линией центров угол а.

Две высоты параллелограмма, проведенные чз вершины тупого угла, равны /zt и Й2, а угол между ними равен ее.

037, Диагональ прямоугольника равна d и делит угол прямоугольника в отношении т:п.

Найти углы трапеции и допустимые значения k.

Площадь равнобедренного треугольника равна S, а противолежащий основанию угол, между медианами, проведенными к его боковым сторонам, равен а.

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а, радиус вписанного круга равен г.

Через вершину угла при основании и центр вписанного круга проведена прямая.

Найти угол треугольника, если известно, что стороны, заключающие этот угол, равны а и b, a биссектриса угла равна /.

В равнобедренном треугольнике даны основание а и угол ее при основании.

Найти отношение периметра трапеции, описанной около окружности, к длине этой окружности, если углы при большем основании трапеции равны аир.

острый угол А равен а радианам.

Дуга окружности с центром в вершине прямого угла С касается гипотенузы в точке D и пересекает катеты АС и ВС соответственно в точках Е и F, Найти отношение площадей криволинейных треугольников ADE и BDF.

В параллелограмм со сторонами а и & (а<6) и острым углом а вписан ромб; две его вершины совпадают с серединами больших сторон параллелограмма, две другие лежат на меньших сторонах (или на их продолжениях).

Найти углы ромба.

углами а и Р при большем основании.

В равнобедренный треугольник с углом а при основании вписана окружность радиуса г.

Площадь равнобедренного треугольника равна S, угол между высотой, проведенной к боковой стороне, и основанием равен а.

Равносторонний треугольник пересечен прямой, проходящей через середину одной из его сторон и составляющей с этой стороной острый угол а.

В равнобедренном треугольнике угол между боковыми сторонами равен а, радиус вписанной окружности равен г.

Около круга описана прямоугольная трапеция с острым углом а.

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а.

В треугольнике даны длины двух сторон а и Ь и угол а между ними.

Показать, что если в треугольнике отношение тангенсов двух углов равно отношению квадратов синусов этих же углов, то треугольник равнобедренный или прямоугольный.

Найти отношение радиусов этих окружностей, если острый угол ромба равен а.

Найти угол при большем основании трапеции.

Верхнее основание трапеции из середины нижнего основания видно под углом

2а, а нижнее основание из середины верхнего — под углом 2(5.

Из точки, взятой на окружности радиуса R, проведены две равные хорды, составляющие вписанный угол, равный ос радианам.

Найти часть площади круга, заключенную внутри этого вписанного угла.

В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна d и составляет со стороной основания угол а.

Через эту сторону и противоположную ей сторону верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол р\ Найти боковую поверхность параллелепипеда.

Разность между образующей и высотой конуса равна d, а угол между ними равен а.

Одно боковое ребро перпендикулярно плоскости основания и равно /, два других образуют с плоскостью основания угол а.

Диагональ боковой грани призмы составляет с плоскостью основания угол р.

Угол между диагоналями, обращенный к основаниям конуса, равен к.

Найти угол при вершине.

осевого сечения конуса, если центральный угол в развертке его боковой поверхности равен « радианам.

Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания.

Найти этот угол.

Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол, косинус которого равен 2/3.

Через сторону АС проведена плоскость под углом ф(ср<л/2) к основанию.

Найти плоский угол при вершине пирамиды.

Высота конуса равна Я, угол между образующей и высотой равен а.

Боковое ребро и диагональ пирамиды составляют с плоскостью основания углы, соответственно равные аир.

Радиус круга, вписанного в прямоугольную трапецию, равен г, острый угол трапеции равен а.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом а.

Диагональ большей боковой грани равна d и образует с боковым ребром угол |3.

Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются под углом, равным а, обращённым к основанию.

Найти острый угол ромба, зная, что объемы тел, полученных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и вокруг его стороны, относятся, как 1 : 2)/5.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол при вершине равен а.

Все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом р.

Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция, у которой основания равны а и b (a>b), а острый угол равен а.

Плоскость, проходящая через большее основание верхней трапеции и меньшее основание нижней трапеции, составляет с плоскостью нижнего основания угол р.

Угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда равен ее.

Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол р.

Каждое из боковых ребер четырехугольной пирамиды образует с высотой угол а.

Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом р между диагоналями.

Плоскость, проходящая через одну из сторон этого квадрата и через вершину конуса, при пересечении с поверхностью конуса образует равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен а.

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно / и составляет с плоскостью основания угол а.

Угол между равными сторонами сечения равен а.

Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник с углом а при вершине.

Диагональ грани, противоположной данному углу, равна / и составляет с плоскостью основания угол р.

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует со стороной основания угол а.

Найти угол между боковым ребром и высотой пирамиды и допустимые значения а.

Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Прямая, проходящая через центр основания конуса и произвольную точку окружности большого круга полушара, составляет с плоскостью основания конуса угол а.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом а.

Все боковые ребра составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный $.

Найти угол между образующей и плоскостью основания.

Найти острый угол между диагоналями осевого сечения.

В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом а.

Найти 'угол между этой плоскостью и плоскостью основания.

Стороны основания прямого параллелепипеда относятся,, как 1 : 2, острый угол в основании равен а.

Найти угол между меньшей диагональю параллелепипеда и плоскостью основания, если высота параллелепипеда равна большей диагонали основания.

Найти двугранный угол между двумя равными боковыми гранями пирамиды и допустимые значения k.

Плоскость квадрата составляет угол а с плоскостью, проведенной через одну из его сторон.

Какой угол составляет с той же плоскостью диагональ квадрата?

Найти угол между стороной основания и непересекающей ее диагональю боковой грани.

Найти угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания.

Найти угол между пересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней правильной четырехугольной призмы, если плоскость, в которой они лежат, составляет с плоскостью основания угол а.

Найти угол между апофемами двух смежных боковых граней правильной n-угольной пирамиды, если плоский угол при ее вершине равен а.

Найти угол между образующей конуса и его высотой.

угла, равного а, проведена прямая, составляющая угол р с ребром двугранного ума.

Найти угол между этой прямой и другой гранью.

Найти угол между образующей и высотой конуса, у которого боковая поверхность есть среднее пропорциональное между площадью основания и полной поверхностью.

Все боковые ребра треугольной пирамиды составляю: с плоскостью основания один и тот же угол, равный одному из остры:; углов прямоугольного треугольника, лежащего в основании пирами ды.

Найти этот угол, если гипотенуза треугольника равна с, а объей пирамиды равен V.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна I и составляет с боковым ребром угол а.

Плоскость, проведенная через образующую цилиндра, составляет'с плоскостью осевого сечения, содержащего ту же образующую, острый угол а.

этой плоскостью, равна / и образует с плоскостью основания угол р.

Сторона ромба равна а, его острый угол равен а.

Найти объем его сектора, у которого центральный угол в осевом сечении равен а.

Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и боковым ребром равен а(ос<я/4).

Найти объем меньшего конуса, если касательные, проведенные к окружности его основания' из произвольной точки окружности основания большего конуса, образуют угол а.

пирамиды составляет с плоскостью основания острый угол а.

Найти угол между высотой и боковым ребром пирамиды.

Найти объем полушара, если образующая конуса равна I и составляет с плоскостью основания угол а.

Боковая грань составляет с плоскостью основания угол а.

Площадь осевого сечения конуса равна S, а угол между высотой и образующей равен а.

Основанием четырехугольной пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом а.

Все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом р.

В основании прямой призмы лежит равнобедренная трапеция, у которой диагональ равна а, а угол между диагональю и большим основанием равен а.

Диагональ призмы наклонена к основанию под углом р% Найти объем призмы.

Угол* между пересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней равен а.

В конус вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом а между боковыми сторонами.

Через две образующие конуса, угол между которыми равен а, проведена плоскость.

Найти отношение площади сечения к полной поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью основания угол р.

Найти угол между боковым ребром и высотой пирамиды.

Через две образующие конуса, угол между которыми равен а, проведена плоскость, составляющая с основанием угол р.

Высота правильной треугольной пирамиды равна Я, двугранный угол при основании равен а.

Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания, если т^п.

Плоскость, проведенная через среднюю линию нижнего основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью нижнего основания острый двугранный угол а.

Найти боковую поверхность усеченного конуса, описанного около правильной треугольной усеченной пирамиды, зная, что острый угол трапеции, служащей боковой гранью пирамиды, равен а и что в эту трапецию можно вписать окружность радиуса г.

Сторона основания треугольной пирамиды равна а, прилежащие к ней углы основания равны аир.

Все боковые ребра составляют с высотой пирамиды один и тот же угол ср.

УгоЛ между образующей и высотой равен а.

Найти острые углы треугольника ABC, если Z_DBA=a.

В правильной шестиугольной призме плоскость, Лрове-денная через сторону основания и середину отрезка, соединяющего центры оснований, составляет с плоскостью основания острый угол а.

Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол между боковыми сторонами равен а.

Основанием пирамиды, вписанной в конус, служит четырехугольник, у которого смежные стороны попарно равны, а угол между одной парой смежных сторон равен а.

Найти объем конуса, если угол между высотой и образующей конуса равен а.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно т и наклонено к плоскости основания под углом а.

Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, а равные боковые ребра образуют между собой угол а.

Найти объем конуса, если в его основании хорда, равная о, стягивает дугу в а°, а высота конуса составляет с образующей угол р.

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 2а, а сумма длин его высоты и образующей равна а.

Найти полную поверхность прямого параллелепипеда, если в основании его лежит ромб с острым углом ос и меньшей диагональю d, а высота параллелепипеда в два раза меньше стороны основания.

Плоскость сечения образует с плоскостью основания пирамиды угол а, а площадь этого сечения равна S.

Найти угол в осевом сечении конуса, если сфера с центром в вершине конуса, касающаяся его основания, делит объем конуса пополам.

Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник,- диагонали которого пересекаются под углом а.

Найти боковую поверхность призмы, если угол между образующей и высотой конуса равен а.

Найти объем правильной четырехугольной пирамиды, если сторона ее основания равна а, а двугранный угол при основании равен а.

Развертка боковой поверхности цилиндра представляет собой прямоугольник, в котором диагональ равна а и составляет с основанием угол а.

В остроугольном треугольнике ABC высота AD=a, высота СЕ—Ь, острый угол между AD и СЕ равен а.

Острый угол прямоугольного треугольника равен а.

Основания равнобедренной трапеции равны а и b (a>b), угол при большем основании равен а.

Найти отношение площади сектора с данным центральным углом а радианов к площади вписанного в него круга.

Углы при большем основании относятся, как 2:1.

Площадь равнобедренной трапеции равна S, угол между ее диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен а.

Большее основание вписанной в круг трапециии равно диаметру круга, а угол при основании равен а.

Угол A^BiC равен а.

В каком отношении делит высоту равнобедренного треугольника ABC точка О, из которой все три стороны видны под одним и тем же углом (^LAOB=Z-BOC=/LCOA), если угол при основании треугольника равен а(а>я/6)?

Высота равнобедренного треугольника равна h и составляет с боковой стороной угол а(ос^я/6).

Найти синус угла при вершине равнобедренного треугольника, если известно, что медиана, проведенная к боковой стороне, составляет с основанием угол, синус которого равен 3/5.

Через вершину угла а при основании равнобедренного треугольника проведена прямая, пересекающая противоположную боковую сторону и составляющая с основанием угол р\ В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника?

Найти угол BCF.

Найти косинус острого угла ромба, если прямая, проведенная через его вершину, делит угол в отношении 1 : 3, а противолежащую сторону — в отношении 3:5.

Найти угол EAF, где Е и F — •соответственно середины сторон ВС и CD.

Боковая сторона трапеции составляет с меньшим основанием угол а.

Высота треугольника делит угол треугольника в отношении 2:1, а основание-—-на отрезки, отношение которых (большего к меньшему) равно k.

Найти синус меньшего угла при основании и допустимые значения /г.

Найти углы треугольника.

Найти углы трапеции и допустимые значения k.

Найти углы треугольника.

В треугольнике ABC даны острые углы а и у («>?

Угол'при вершине А трапеции ABCD равен а.

Найти угол ВАС.

В прямоугольном треугольнике найти угол менаду медианой и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла, равного а.

Найти косинусы острых углов прямоугольного треугольника, зная, что произведение тангенсов половин этих углов равно 1/6.

Найти углы параллелограмма.

Найти углы ромба и допустимые значения k.

Найти расстояние от вершины центрального угла сектора до центра окружности, вписанной в этот сектор, если радаус дуги сектора равен R.

Показать, что если в треугольнике отношение суммы синусов двух углов к сумме их косинусов равно синусу третьего угла, то треугольник прямоугольный.

Найти синус угла ромба, если из середины его стороны противоположная сторона видна под углом а.

Найти углы треугольника, если-его' площадь равна S.

Тангенс острого угла между медианами прямоугольного треугольника, проведенными к его катетам,.

Найти углы треугольника и допустимые значения k.

Радиус дуги сектора равен R, центральный угол АОВ равен а.

В треугольнике даны сторона а, противолежащий ей угол а и высота h, проведенная к данной стороне.

В треугольнике ABC даны Острые углы а и у (а>7) ПРИ основании АС.

В прямоугольном треугольнике ABC острый угол при вершине А равен а.

Большее основание трапеции составляет с боковой стороной угол а, а с диагональю — угол р\ Найти отношение площади круга к площади трапеции.

В треугольнике ABC угол А равен а и сторона ВС—а.

Найти длину биссектрисы AD, если угол между биссектрисой AD и высотой АЕ равен р.

Равнобедренный треугольник с углом а при вершине пересечен прямой, проходящей через вершину угла при основании и составляющей с основанием угол |3.

Радиус дуги сектора АОВ равен R, центральный угол АОВ равен а.

В равнобедренный треугольник с основанием а и углом а при.

Внутри данного угла а расположена точка на расстоянии а от вершины и на расстоянии b от одной стороны.

В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AD острого угла А, равного а.

Найти острый угол ACD и допустимые значения а.

В равнобедренном треугольнике угол при основании равен а.

В треугольнике известны площадь S, сторона а и противолежащий ей угол а.

В равнобедренном остроугольном треугольнике угол при основании равен а, а площадь равна S.

Пусть а, Ь, с — длины сторон остроугольного треугольника; А, В, С—углы, противолежащие сторонам; Р„, Рь, Рс— расстояния от центра описанной окружности до соответствующих сторон.

Найти тупой угол между лучом и основанием.

Под какими углами она наклонена к боковым сторонам треугольника?

Основание треугольника равно а, а углы при основании равны аир радианам.

угла между ними.

Найти этот угол.

Один из углов при основании равен 15°.

Показать, что острый угол между основанием треугольника и его медианой равен 45°.

В трапеции меньшее основание равно 2, прилежащие углы — по 135°.

Угол между диагоналями, обращенный к основанию, равен 150°.

Доказать, что если биссектриса одного из углов треугольника равна произведению заключающих его сторон, деленному на их сумму, то этот угол равен 120°.

В образовавшийся криволинейный треугольник (с острым углом) снова вписана окружность.

Найти ее радиус, если высота ромба равна h, а острый угол равен ос.

Основание треугольника равно а, а прилежащие к нему углы содержат 45 и 15°.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол а.

Плоский угол при вершине равен а.

Радиус шара равен R, а угол при вершине осевого сечения конуса равен 2а.

Найти объем и боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если плоскость, проходящая через сторону основания а и середину ее высоты, наклонена к основанию под углом ф.

Найти объем правильной четырехугольной призмы, если угол между диагональю призмы и боковой гранью равен а, а сторона основания равна а.

лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого больший катет АВ равен а, а противолежащий ему угол С равен а.

Найти площадь сечения и объем пирамиды, если известны сторона а основания и угол а между сечением к основанием.

Найти объ ем пирамиды, если двугранный угол между ее боковыми гранями равен а.

Найти объем пирамиды, если двугранный угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен а.

Найти боковую поверхность и объем прямого параллелепипеда, если его высота-равна /t, диагонали составляют с основанием углы а и р, а основанием служит ромб.

Основанием примой призмы служит равнобедренный треугольник, основание которого равно а, а угол при основании равен а.

Основанием пирамиды служит ромб с острым углом а.

Найти объем пирамиды, если ее боковые грани образуют с основанием один и тот же двугранный угол р и радиус вписанного в нее шара равен г.

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, равные стороны которого имеют длину Ь\ соответствующие им боковые грани перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол а.

Угол между третьей боковой гранью и плоскостью основания также равен а.

Найти объем пирамиды, если угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен а.

Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом а.

Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом ср.

В правильной треугольной пирамиде с углом а между боковым ребром и стороной основания проведено сечение через середину бокового ребра параллельно боковой грани.

Найти угол между его образующей и осью, если поверхность вращения делит объем конуса пополам.

Найти угол между образующей и основанием усеченного конуса, полная поверхность которого вдвое больше поверхности вписанного в него шара.

Основанием прямой призмы служит треугольник со стороной а и прилежащими к ней углами a wfi.

Через сторону основания под углом ф к нему проведена плоскость, пересекающая противоположное боковое ребро.

Найти синус центрального угла кругового сектора.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол а.

Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания пирамиды.

Большее боковое ребро равно / и составляет с плоскостью основания угол а.

В основании пирамиды лежит ромб, один из углов которого равен а.

Через середины двух смежных сторон основания и вершину пирамиды проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол р.

Основанием пирамиды служит ромб с острым углом ос.

Все боковые грани составляют с плоскостью основания один и тот же угол р.

В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен а, боковая поверхность равна S.

Боковая грань составляет с плоскостью основания угол ос.

В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, у которого площадь равна 5 и угол при вершине равен а.

Найти объем пирамиды, если угол между каждым боковым ребром и высотой пирамиды равен |5.

Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, у которой боковая сторона равна а, а острый угол равен к.

Все боковые грани образуют с основанием пирамиды один и тот же угол р\ Найти полную поверхность пирамиды.

Двугранный угол при основании правильной треугольной пирамиды равен а, боковая поверхность пирамиды равна 5.

Плоский угол при вершине правильной/г-угольной пирамиды равен а.

Два конуса имеют концентрические основания и один и тот же угол, равный а, между высотой и образующей, Радиус основания внешнего конуса равен R.

В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ которого составляет с прилежащими к ней сторонами основания углы а и р.

Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом а.

Найти отношение объема куба к объему пирамиды, если боковое ребро пирамиды составляет с носкостью основания угол а.

Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а; боковая грань составляет с плоскостью основания угол а.

Величина угла между боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и плоскостью основания равна величине плоского угла при вершине пирамиды.

Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Найти отношение объема шарового сегмента к объему всего шара, если дуга в осевом сечении сегмента соответствует центральному углу, равному а.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, его острый угол равен а.

Треугольник вращается вокруг биссектрисы внешнего прямого угла.

Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания.

Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания и допустимые значения k.

Найти полную поверхность цилиндра, если угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен а.

Образующая конуса составляет с плоскостью его основания угол а.

Боковая грань правильной усеченной треугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол а.

Прямая, проходящая через центр шара и произвольную точку окружности основания конуса, составляет с высотой конуса угол а.

Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса и допустимые значения k.

Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания, если боковая поверхность конуса равна сумме площадей основания и осевого сечения.

Угол между высотой и образующей конуса равен ее.

Большая диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол а.

Найти острый угол ромба.

Боковое ребро правильной усеченной четырехугольной пирамиды составлягт-с плоскостью основания угол а.

Найти отношение боковых поверхностей пирамиды и параллелепипеда, если диагональ параллелепипеда составляет с его основанием угол р\

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом а(а^я/3) при вершине.

Найти угол между двумя смежными боковыми гранями.

Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания и допустимые значения k.

Прямая, проходящая через центр верхнего основания цилиндра и точку на окружности основания конуса, составляет с плоскостью основания угол «.

Найти отношение объемов конуса и цилиндра, если угол между образующей и высотой конуса равен р.

Основанием пирамиды служит ромб с острым углом а.

Все боковые грани составляют с плоскостью основания один и тот же угол р.

Угол между этим:!

Две другие грани пирамиды образуют двугранный угол р.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол между диагоналями равен а.

Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания, а наибольшее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол р.

Боковые грани пирамиды, содержащие катеты основания, составляют с плоскостью основания углы а и р.

Диагональ призмы составляет с плоскостью основания угол ср.

Найти объем призмы, если боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основании угол а.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru