НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Треугольник"

Доказать, что во всяком треугольнике ортоцентр, центроид и центр описанной окружности лежат на одной прямой (прямая Эйлера).

ТРЕУГОЛЬНИКИ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ г- г- гг- - ab л/2 „ mn(m + n)

для того чтобы в треугольнике один из углов был равен 60° или 120°, необходимо и достаточно, чтобы расстояние от вершины этого угла до ортоцентра было равно радиусу описанной окружности.

Расстояние от точки пересечения медиан треугольника до центра описанной около него окружности равно — радиуса этой окружности.

Доказать, что этот треугольник прямоугольный.

В треугольниках ABC и А'В'С' углы Вий' равны, а углы А и А' составляют в сумме 180°.

Доказать, что стороны этих треугольников связаны соотношением аа' = ЬЬ' + сс'.

В треугольнике ABC углы А, В и С относятся как 4:2:1.

Даны два треугольника ЛВС и AtB\C\.

Доказать, что если медианы первого треугольника параллельны сторонам второго, то медианы второго треугольника параллельны сторонам первого.

В треугольнике ЛИС угол А равен а, угол В равен р, медиана BD пересекается с биссектрисой СЕ в точке К.

Диагональ является высотой треугольника.

Укажем основные пути доказательства равенства двух отрезков: — рассматривают эти отрезки как стороны двух треугольников и доказывают, что треугольники равны, а рассматриваемые отрезки являются в них соответственными сторонами; — рассматривают эти отрезки как стороны одного треугольника и доказывают, что он является равнобедренным треугольником, а рассматриваемые отрезки являются его боковыми сторонами; — заменяют отрезок а равным ему отрезком а', отрезок b — равным ему отрезком Ь' и доказывают равенство отрезков а' и Ь'.

Укажем некоторые из них: проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке; удвоение медианы треугольника с последующим достраиванием треугольника до параллелограмма; проведение вспомогательной окружности; проведение радиусов в точки касания двух окружностей или окружности и прямой и т.

Доказать, что точки К, М, Р, служащие соответственно серединами отрезков АО, ВО и CD, являются вершинами правильного треугольника.

В трапеции ABCD диагональ АС отсекает равносторонний треугольник ACD.

Доказать, что середины отрезков АЕ, ВС и CD являются вершинами равностороннего треугольника.

Например, пропорциональность соответственных элементов в подобных фигурах, формула для определения косинуса угла треугольника, теорема Пифагора и т.

На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника ЛВС-построены (вне треугольника) квадраты ADKC и СЕМВ.

В прямоугрльный треугольник с катетами а и & вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол.

В прямоугольный треугольник вписан ромб так, что все его вершины лежат на сторонах треугольника, а угол, равный 60°, является общим углом треугольника и ромба.

Треугольники и четырехугольники.

В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противолежащая вершина ромба делит сторону треугольника на отрезки, отношение которых равно 2:3.

В треугольник с боковыми сторонами 9 и 15 см вписан параллелограмм так, что одна из его сторон длиной 6 см лежит на основании треугольника, а диагонали соответственно параллельны боковым сторонам треугольника.

В квадрат ABCD вписан равнобедренный треугольник АКМ так, что точка К лежит на стороне ВС, точка М — на CD и АМ = АК.

В правильный треугольник ABC вписан правильный треугольник DEK так, что точка D лежит на стороне ВС, точка Е — на АС и точка К— на АВ.

Доказать, что треугольник AMN равнобедренный и прямоугольный.

На основании и одной из боковых сторон равнобедренного треугольника вне его построены квадраты.

Доказать, что центры этих квадратов и середина другой боковой стороны служат вершинами равнобедренного прямоугольного треугольника.

На сторонах A3, ВС и CD прямоугольника ABCD вне его построены равносторонние треугольники АВО\, BCOi, CDO3.

Основания двух правильных треугольников со сторонами о и За лежат на одной и той же прямой.

Треугольники расположены по разные стороны от прямой, а расстояние между ближайшими концами их оснований равно 2а.

Найти расстояние между не лежащими на данной прямой вершинами треугольников.

В прямоугольник ABCD вписан треугольник АЕК так, что точка Е лежит на стороне ВС, а точка К — на CD.

Докажем, что если а и b — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника, a r — радиус вписанной окружности, то г = а "т" * ~ с.

Полученная формула часто используется при решении задач, связанных с прямоугольными треугольниками.

К окружности, вписанной в треугольник с периметром 18 см, проведена касательная параллельно основанию треугольника.

Длина отрезка касательной, заключенного между боковыми сторонами треугольника, равна 2 см.

Тогда треугольники ABC и

В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием АС = Ь и углом при основании а.

Вторая окружность касается первой окружности и основания треугольника в его середине D и расположена вне треугольника.

Из прямоугольного треугольника ADK находим: AD2 -\т.

Окружность того же радиуса имеет центр в конце дуги сектора, она разбивает сектор на два криволинейных треугольника.

В меньший из этих треугольников вписана окружность.

Острый угол прямоугольного треугольника равен а.

Найдем гипотенузу этого треугольника, если радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен R.

Дан остроугольный треугольник ABC с углами Z.

Опишем около треугольника ABC окружность.

Тогда интересующие нас отрезки ЕК и FL станут сторонами двух прямоугольных треугольников ЕКР и FLM, и, значит, достаточно доказать равенство этих треугольников.

Докажем, что если высота и медиана, проведенные из одной вершины неравнобедренного треугольника, лежат внутри треугольника и образуют с его боковыми сторонами равные углы, то этот треугольник прямоугольный.

Опишем около данного треугольника ABC окружность и продолжим высоту BD и медиану ВМ до пересечения с окружностью в точках соответственно Е и К (рис.

AD и СМ — высоты остроугольного треугольника ABC, периметр треугольника ABC равен 15 см, периметр треугольника BDM равен 9 см, радиус окружности, описанной около треугольника BDM, равен 1,8 см.

Прежде всего докажем, что треугольники ABC и BMD подобны.

В самом деле, прямоугольные треугольники ABD и

ВМС с общим острым углом В подобны, а поэтому -j^—j^ • Но тогда у треугольников ABC и MBD с общим углом В стороны, заключающие этот угол, пропорциональны, т.

треугольники подобны.

Воспользуемся тем, что в подобных треугольниках отношение периметров и отношение радиусов описанных окружностей равны коэффициенту подобия.

Из равенства прямоугольных треугольников следует равенство их гипотенуз, т.

О радиус окружности, описанной около треугольника BMD, равен 1,8 см, то получаем, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 1,8---=3 см.

Но ВН — диаметр описанной около треугольника BMD окружности (поскольку опирающийся на него угол ВОН равен 90°).

Теперь в прямоугольном треугольнике АОР известны две стороны: Л0 = 3 см (радиус описанной окружности) и ОР=1,8 см.

Докажем, что ортоцентр остроугольного треугольника совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник, образованный основаниями высот.

Поскольку центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис, то задача сводится к тому, чтобы доказать, что DH, EH, KH — биссектрисы треугольника DEK (рис.

Вписанные и описанные треугольники

В правильном треугольнике ABC на сторонах АВ и АС взяты точки М и К так, что ЛЛ4:Л4Й = 2:1, АК:КС— 1:2.

Доказать, что отрезок КМ равен радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.

Около треугольника ABC (АВ = ВС) описана окружность.

Окружность, описанная около треугольника ВОЕ, проходит через центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Доказать, что центр окружности, вписанной в треугольник, лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся прямой АВ в точке М.

Прямая / касается окружности, описанной около треугольника ABC, в точке С.

Доказать, что квадрат высоты СН треугольника ABC равен произведению расстояний точек А и В от прямой /.

Найти углы треугольника, если известно, что центры его вписанной и описанной окружностей симметричны относительно одной из сторон треугольника.

Основание равнобедренного треугольника 2а, высота /г.

К окружности, вписанной в треугольник, проведена касательная, параллельная основанию.

Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между боковыми сторонами треугольника.

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной Окружности делит гипотенузу на отрезки 24 и 36 см.

В прямоугольном треугольнике один катет равен 48 см, а проекция другого катета на гипотенузу равна 3,92 см.

В прямоугольном треугольнике с катетами 18 и 24 см найти расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, в 1,5 раза меньше радиуса описанной окружности.

Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами а и Ь и углом у между ними.

В равнобедренном треугольнике основание равно Ь, угол при основании а.

К окружности, вписанной в треугольник, проведена касательная, параллельная основанию.

Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между боковыми сторонами треугольника.

В равнобедренном треугольнике отношение радиусов вписанной и они санной окружностей равно k.

Доказать, что для любого прямоугольного треугольника справедливо неравенство.

Доказать, что окружность, описанная около треугольника, равна окружности, проходящей через две его вершины и ортоцентр.

В окружность вписан правильный треугольник ABC.

Доказать, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин вписанного в нее правильного треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.

В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC (/4б = ВС).

На дуге АВ взята произвольная точка К и соединена хордами с вершинами треугольника.

Около треугольника ABC описана окружность, пересекающая биссектрису угла С в точке М.

Из ортоцентра Н треугольника проведен перпендикуляр HD к биссектрисе так, что точка D принадлежит /,.

В остроугольном треугольнике со сторонами а, Ь и с из центра описанной окружности опущены перпендикуляры на стороны.

Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных на стороны треугольника или на продолжения сторон из произвольной точки описанной около треугольника окружности, лежат на одной прямой.

Доказать, что радиус описанной около треугольника окружности, проведенный в одну из вершин треугольника, перпендикулярен прямой, соединяющей основания высот, проведенных из двух других вершин треугольника.

Около треугольника ABC описана окружность.

В окружность радиуса R вписан правильный треугольник ABC.

В треугольник ABE вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке М и стороны BE в точке Р.

Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанной окружности на отрезки, отношение которых равно Л (/&>!

Найти угол при основании равнобедренного треугольника, если из* вестно, что его ортоцентр лежит на вписанной окружности.

Произвольнее расположение окружности и треугольника

Окружность, описанная около треугольника DMC, проходит через центроид треугольника ABC.

В прямоугольный треугольник вписана полуокружность Так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, а центр делит гипотенузу на отрезки 15 И 20 см.

Окружность проходит через вершину А прямоугольного треугольника ABC, касается катета ВС и имеет центр на гипотенузе АВ, Найти ее радиус, если АВ = с, ВС = а.

На катете ВС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке D так, что AD:DB = = 3:1.

Найти радиус окружносги, проходящей через две вершины третьей стороны и центр вписанной в данный треугольник окружности.

Окружность проходит через вершины А и В треугольника ABC- и касается стороны ВС в точке В.

На стороне А В треугольника ABC- как на диаметре построена окружность, пересекающая АС в точке D и ВО в точке Е.

В треугольник ВОЕ вписана окружность, касающаяся стороны BE в точке К.

В треугольнике ABC проведены высота АО и окружность с центром в точке А и радиусом AD.

Найти длину дуги этой окружности, лежащей внутри треугольника, если ВС=а, Z.

Доказать, что радиус окружносги, касающейся гипотенузы и продолжений катетов прямоугольного треугольника, равен сумме длин гипотенузы и радиуса окружности, вписанной в треугольник.

Найти углы и две другие стороны треугольника KDO, если известно, что точка S лежит на окружности, описанной около треугольника KDO.

В треугольнике ABC точка D — середина АС, точка?

—середина ВС, окружность, описанная около треугольника СОЕ, проходит через центроид треугольника ABC.

Найти зависимость между сторонами а, Ь ч с треугольника ЛВС, если известно, что вершина С, центроид М и середины сторон АС и ВС лежат на одной окружности.

В равнобедренный треугольник ЛВС с углом В, равным 120°, вписана полуокружность радиуса (3\/3+\/2l) см с центром на ЛС.

В треугольнике ЛВС известны стороны: ЛВ = ВС = 39 см, ЛС=30 см.

В треугольнике ЛВС проведены высоты CD и АЕ.

Около треугольника ВОЕ описана окружность.

Найти длину дуги этой окружности, лежащей внутри треугольника ЛВС, если AC = b, *LABC — $.

Найти отношение радиуса окружности, вписанной в ромб, к радиусу окружности, вписанной в треугольник ЛВС.

Доказать, что сумма произведений высот остроугольного треугольника на отрезки их от ортоиентра до вершины равна полусумме квадратов сторон.

На гипотенузе прямоугольного треугольника как на стороне построен квадрат (вне треугольника).

Центр квадрата соединен с вершиной прямого угла треугольника.

Для доказательства равенства отрезков DM и ВТ нужно рассмотреть эти отрезки в качестве сторон двух треугольников и доказать равенство этих треугольников.

В криволинейный треугольник, образованный этими касательными и меньшей дугой АВ, вписана окружность.

Прямоугольник со сторонами 36 и 48 см разделен диагональю на два треугольника.

В каждый из этих треугольников вписана окружность.

Рассмотрим треугольники DMB и ВСТ.

Вычислить радиус окружности, вписанной в криволинейный треугольник, заключенный между окружностями и их общей внешней касательной.

В сектор АОВ круга радиуса R с центральным углом а вписан правильный треугольник, одна из вершин которого лежит в середине дуги АВ, а две другие — на радиусах ОА и ОВ.

Найти сторону треугольника.

В меньший из них вписан правильный треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой дуги, а две другие лежат на хорде сегмента.

Найти сторону треугольника.

В больший из них вписан правильный треугольник так, что одна его вершина совпадает с серединой хорды, а две другие лежат на дуге.

Найти сторону треугольника.

В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса а.

Окружность радиуса Ь касается боковых сторон треугольника и вписанной окружности.

Основание равнобедренного треугольника Ь, угол при основании a В треугольник вписана окружность.

Вторая окружность касается первой и боковых сторон треугольника.

Пересечение кругов разделено линией центров на два криволинейных треугольника, в один из которых вписана окружность.

Найти радиус окружности, вписанной в криволинейный треугольник МК.

Найти радиус окружности, вписанной в криволинейный треугольник МКА, где М — точка пересечения окружности и отрезка АО.

Основание равнобедренного треугольника Ь, угол при основании а.

В треугольник вписана окружность.

Около равнобедренного треугольника с основанием Ь и углом а при основании описана окружность.

Вторая окружность касается первой окружности и боковых сторон треугольника.

В треугольнике ABC проведены медианы АА\, ВВ\, СС\, пересекающиеся в точке М.

Точки D, К и М лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и ЛС треугольника ABC.

Доказать, что окружности, описанные около треугольников ADM, ВО К и С КМ, пересекаются в одной точке.

В треугольник ABC вписана окружность с центром 0\, касающаяся сторон АС и ВС в точках К и Я.

В меньший сегмент круга, отсекаемый хордой АВ, вписан правильный треугольник, одна из сторон которого перпендикулярна хорде АВ.

Найти сторону треугольника.

В образовавшийся криволинейный треугольник вписана окружность.

Докажем, что треугольники А\В\С\ и PQR равны (рис.

( а<— ]• В образовавшийся криволинейный треугольник МАК.

Отобразим треугольник симметрично относительно точки М.

На прямой СН взята такая точка К, что АВК — прямоугольный треугольник.

Докажем, что площадь треугольника АВК есть среднее геометрическое между площадями треугольников ABC и АВН (рис.

Но треугольник АВК прямоугольный, поэтому KD2 = BD-AD (теорема 6а).

Последнее равенство с достаточной очевидностью следует из подобия прямоугольных треугольников BCD и HDA (у этих треугольников углы BCD и HAD равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, поскольку АЕ — высота треугольника).

Треугольники Л|В|С| и PQR центрально-симметричны относительно точки М, а потому равны.

Зная медианы та, tnh и т, треугольника, вычислим его площадь.

В самом деле, основание АС у этих треугольников общее.

Рассмотрим треугольник АМС.

Удвоим медиану и, достроив треугольник до параллелограмма МСРА, получаем

У треугольника МСР известны три стороны: J_m<1) ^-mb, —тс.

Пример 3, Найдем площадь треугольника с углами а, р и у, зная, что расстояния от произвольной точки М, взятой внутри треугольника, до его сторон равны соответственно m, n и k (рис.

Тогда треугольник ABC отобразится в треугольник А' ВМ: сторона ВС после поворота на 90° совместится со стороной- ВМ, а АВ займет положение отрезка А' В, служащего продолжением отрезка DB, медиана ВР отобразится в медиану ВР' треугольника А'ВМ.

Пример 4 В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС взяты точки К и Р так, что АК:ВК=*1:2, СР:РВ = 2:\.

Далее, треугольники Л/(?

В треугольнике DMA' имеем МР' = Р'А' и ОВ = ВЛ' (более подробно: DB = BA, ВА = ВА').

Рассмотрим треугольники ВЕС и ВКС.

Рассмотрим, наконец, треугольники В/СС и ABC.

В треугольнике ABC (AB = BC) угол А равен arctg —.

Прежде всего нужно провести расчеты, которые позволят выяснить, где лежит центр окружности (пока ясно лишь одно, что этот центр лежит на высоте ВН равнобедренного треугольника ABC, так как ВА и ВС — касательные к окружности, а потому центр окружности лежит на биссектрисе угла между прямыми — теорема 126).

Из треугольника ВОМ находим: =-V»L=-L=±L , ВМ --cos a 15 15 a = -.

В самом деле, у треугольников АСЕ и АСМ общее основание и равные высоты, поскольку точки Е и М лежат на прямой, параллельной основанию АС.

Рассмотрим треугольник AML.

Сравним это выражение с площадью треугольника

Аналогично площадь 5з треугольника СРЕ связана с площадью треугольника BCD соотношением 53=-|~SCfl?

Около треугольника ABC с тупым углом А описана окружность с центром О.

CBL — равнобедренный треугольник.

Но центр О окружности, описанной около равнобедренного треугольника CBL, лежит на его высоте KL.

Мы знаем, что треугольник ALO равнобедренный с углами 15°, 15° и 150° и стороной AL, равной 4 л/2 см.

Площадь пятиугольника вычислим как сумму площадей треугольников ABE, BED и BCD.

По теореме синусов, примененной'к треугольнику ABE, находим, что

Значит, треугольник ABE — равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого АВ = АЕ = ^/2, а потому BE =2 и SABE=--AB.

Значит, треугольник ВОЕ прямоугольный; из него находим: DE— 1, В?

= лД наконец, треугольник = Л/3.

Поскольку треугольник AKD равносторонний, то Z_/(/1D = 60c.

Для отыскания стороны квадрата ЕКМР применим теорему косинусов к треугольнику АКМ: КМ'2 = АК~ + ЛМ2 — 2Л К-АМ X

Окружность касается сторон Л С и ВС треугольника ABC в точках D и Е соответственно и имеет центр на стороне АВ.

Действительно, в треугольнике ABC KL — средняя линия, т.

Внутри треугольника ABC со сторонами a, b к с взята точка М так, что из нее стороны треугольника видны под равными углами.

Аналогично в треугольнике ADC NM — средняя линия, т.

Применив теорему косинусов к каждому из треугольников АМВ, ВМС и АМС, получим систему уравнений ( а2 = z2 + у2 -f yz,

В треугольнике ABC известно, что АС:ВС = = 2:1 и ZLC = arccos—.

1 :3, Найдем отношение радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, к радиусу окружности, вписанной в треугольник ABD.

Чтобы найти радиус R окружности, описанной около треугольника ABC, вычислим сторону АВ по теореме косинусов, а затем воспользуемся теоремой синусов.

Радиус г окружности, вписанной в треугольник ABD, найдем о по формуле г = — , где S — площадь; р — полупериметр треугольника ABD.

Сторону fiD найдем из треугольника BCD по теореме косинусов: SD2 == с2 + 4а2 — 2-а-2а- — , откуда BD = a^J2.

В треугольнике ABC известны АС*=3 см, /.

Найти площадь треугольника, вершинами которого служат основания биссектрис данного треугольника.

В треугольнике ABC известны стороны: АВ=\3 см, ВС = 15 см, АС = = 14 см.

На каждой медиане треугольника взята точка,.

Найти площадь треугольника с вершинами в этих точках, если площадь исходного треугольника равна 64 см2.

В треугольник с основанием а вписан квадрат.

Найти площадь треугольника, если известно, что сторона квадрата больше половины основания треугольника и площадь квадрата составляет — часть площади треугольника.

Около треугольника ABC с углом В =60° описана окружность радиуса 4 см.

Найти площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой с, если известно, что сумма синусов его острых углов равна q.

Найти площадь прямоугольного треугольника с острым углом а, если известно, что расстояние от вершины другого острого угла до центра вписанной окружности равно т.

В остроугольном треугольнике ABC известны АВ = с, медиана BD=m, /.

Через вершину угла а при основании равнобедренного треугольника проведена прямая под углом р к основанию (Р«х), разбивающая треугольник на две части.

Через середину стороны правильного треугольника проведена прямая, образующая с этой стороной острый угол а.

Найти отношение площадей тех частей, на которые эта прямая разбивает треугольник.

В треугольнике ABC известны два угла: ^/4=<х,?

Найти: а) отношение площади треугольника BDM к площади треугольника ABC; б) отношение площади треугольника ВНМ к площади треугольника ABC; в) отношение площади треугольника BHD к площади треугольника ABC.

Медиана AD треугольника ABC пересекает описанную около треугольника окружность в точке?

В треугольнике ABC из точки М на стороне АВ проведены прямые MQ\\AC и МР\\ВС.

Через точку, взятую внутри треугольника, проведены прямые, параллельные его сторонам.

Они разбивают треугольник на шесть частей, среди которых есть три треугольника с площадями Si, Sz и 8з.

Найти площадь исходного треугольника.

В треугольник со сторонами 16, 30 и 34 см вписана окружность.

Треугольник ABC со стороной АС = 20 см вписан в окружность.

Из точки М, расположенной внутри треугольника ABC, опущены перпендикуляры MD, ME и MF на стороны соответственно АВ, ВС и А С.

Найти отношение площадей треугольников ABC и DEF, если известно, что /4В = с, ВС — а, АС = Ь, ME = k, MF = m и УИ0 = я.

В треугольнике ABC проведены высоты AD, BE и CF.

Найти отношение площадей треугольников DEF и ABC, если известны углы треугольника ABC: <х, Р и у.

В треугольнике ABC угол С равен 60° и радиус описанной окружности равен 2 л/3 см.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол А равен arcsin —.

Около треугольника ABC описана окружность.

Высота, лежащая внутри треугольника, разделена в отношении 3:1, считая от вершины, и через точку деления проведена прямая перпендикулярно чтой высоте.

В треугольнике ABC известны углы: /iA = a, /LB — $, /1С = у, а высота BD = H.

Прямая /, параллельная основанию АС треугольника ABC, отсекает от него треугольник BED.

Доказать, что площадь четырехугольника BEMD есть среднее геометрическое между площадью треугольника ABC и площадью треугольника DBE.

Далее, так как ZBAM=-, z_ABK= 18°'^а; то в треугольнике ABN ^ABN= 180° - - - -8°'"а = 90°.

На катетах АС и ВС и гипотенузе А В прямоугольного треугольника ABC как на сторонах построены квадраты (вне треугольника) СМРА, BEFC и ADK.

В круг радиуса R вписаны правильный треугольник и квадрат, имеющие общую вершину.

Сторона правильного треугольника равна а.

В правильный треугольник вписан круг.

С центром в одной из вершин треугольника проведен второй круг, радиус которого равен половине стороны треугольника.

Какую часть площади треугольника составляет площадь Пересе чения кругов?

Найти: а) площадь полученного криволинейного треугольника; б) площадь круга, вписанного в этот треугольник.

Сторона правильного треугольника равна а.

Найти площадь части треугольника, лежащей о вне круга.

С центром в противолежащей основанию вершине треугольника и радиусом, равным высоте, проведенной из этой вершины, построен круг.

Найти площадь части круга, лежащей внутри треугольника.

В треугольнике ABC ^А = а, /LB = $ и АС = Ь.

Около треугольника HDE описан круг.

Найти площадь пересечения круга и треугольника.

Из прямоугольных треугольников ABN и AMD имеем соответственно AN = a cos у, AM == Ь COS у.

Через центроид правильного треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне А В.

На этой прямой внутри треугольника взята произвольная точка М, из нее опущены перпендикуляры МО, ME и МК на стороны соответственно АВ, АС и ВС.

—h^—= —, где А,, /ь, Ач — высоты треугольника,

Пусть D •— внутренняя точка стороны АС в ДЛЙС, г\ и г-> •—радиусы окружностей, вписанных в треугольники соответственно ABD и BDC, г — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC Доказать, что r

Аналогично из прямоугольных треугольников ABN и ВКС находим: BN - a sin — , ВК = b sin у.

Площадь равнобедренного треугольника равна S, а угол между медианами, проведенными к боковым сторонам, равен а.

В треугольнике один из углов равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга.

Найти длину большей стороны треугольника.

В треугольнике известны две стороны а и b (a>b) и площадь S.

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке М и стороны АС в точке N.

В остроугольном треугольнике ABC из вершин А и С опущены высоты AD и СЕ.

Вычислить радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

В остроугольном треугольнике ABC из вершин А и С опущены высоты AD и СЕ.

Найти длину отрезка DE, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 16-\/3 см.

В треугольнике ABC, площадь которого равна 6 см2, на сторонах АВ и АС взяты соответственно точки К и М так, что АК:ВК=2'.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса AD.

Докажем, что высоты произвольного треугольника пересекаются в одной точке.

В треугольнике ABC точка Н — ортоцентр.

Центр вписанной в треугольник окружности соединен отрезками с вершинами треугольника.

Получились три треугольника с площадями 4, 13 и 15 см'.

Найти стороны исходного треугольника.

В треугольнике ABC известно, что ВС:АС=3, Z.

В треугольнике ABC проведена медиана BD.

Найти отношение радиуса окружности, описанной около треугольника ABD, к радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC, если АВ = 2, АС = 6 и

В треугольнике ABC известно, что ЛС:ВС=1:3, ^ACB = arcig —.

Найти отношение площади круга, описанного около треугольника ACD, к площади круга, вписанного в треугольник ABD.

Применив теорему синусов к треугольнику ABC, получим AC — 2R sin (л — х— у) — 2R sin = 2Rsmx, (математическая модель задачи составлена).

когда треугольник ABC равнобедренный: АС = ВС.

Найдем ту из них, которая отсекает от сторон угла треугольник наименьшей площади.

Рассмотрим треугольник ЛОВ, где ЛВ — секущая, проходящая через точку М; /LAOB = a — данный угол" (рис.

Рассмотрим треугольники МКВ и ЛОВ.

Таким образом, чтобы от сторон угла отсечь треугольник наименьшей площади, надо провести через точку М прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делился в точке М пополам.

На равных сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника ABC взяты соответственно точки D и Е так, что DE\\AC.

Найдем наибольшее значение площади пересечения треугольника и квадрата, если АС = Ь, а высота ВН треугольника ABC равна /г.

Оптимизируемая величина — площадь пересечения треугольника и квадрата; обозначим ее буквой S.

Ясно, что из всех квадратов, целиком лежащих внутри треугольника, наибольшую площадь имеет вписанный квадрат, т.

квадрат, все вершины которого лежат на сторонах треугольника (рис.

86 санного квадрата, то квадрат и треугольник расположены так, как показано на рисунке 86.

В этом случае пересечением квадрата и треугольника будет вписанный прямоугольник DEPT (вписанный квадрат — частный случай).

В окружность ш радиуса 1 вписан равносторонний треугольник ABC, и на этой окружности взята произвольно точка D.

Возвращаясь к условию задачи, приходим к следующему выводу: если высота треугольника меньше основания, то наибольшую площадь будет иметь пересечение треугольника с квадратом, построенным на средней линии треугольника; если же высота треугольника не меньше основания, то наибольшей будет площадь вписанного в треугольник квадрата.

При х = 60° трапеция вырождается в правильный вписанный треугольник— его сторона, как известно, как раз равна R V3 (рис.

Докажем, что из всех треугольников с данным основанием и данным углом при вершине наибольшую биссектрису угла при вершине имеет равнобедренный треугольник.

С одной стороны, угол х как внешний для треугольника ВОС больше, чем любой угол этого треугольника, не смежный с углом BDA, т.

Это значит, что в треугольнике ABC биссектриса BD является высотой.

Значит, треугольник ABC равнобедренный.

Таким образом, из всех треугольников с данным основанием и данным углом при вершине наибольшую биссектрису угла при вершине имеет равнобедренный треугольник.

Вершины всех остальных треугольников с данным основанием и данным углом при вершине лежат на дуге ЛВС.

Возьмем равнобедренный треугольник АВ\С, проведем в нем биссектрису B\D\ и докажем, что BD

Из треугольника DD\M заключаем, что DM>D\M.

Доказать, что в прямоугольном треугольнике -7г-<-\/2— 1, где г — ра

Доказать, что в равнобедренном треугольнике отношение радиусов вписанной и описанной окружностей не больше —.

Доказать, что из всех треугольников с одинаковым углом при вершине и постоянной суммой боковых сторон наименьшее основание имеет равнобедренный треугольник,

В основании пирамиды 5ЛВС лежит правильный треугольник, а точка О — основание высоты SO пирамиды — является серединой стороны АВ и 50:ЛВ = 3:2.

Доказать, что из всех треугольников с данным основанием и данным углом при вершине равнобедренный треугольник имеет: а) наибольшую площадь; б) наибольший периметр.

Доказать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данную окружность, равносторонний треугольник имеет: а) наибольшую площадь; б) наибольший периметр.

Точка А лежит между двумя параллельными прямыми /, и /2, удалена от них на расстояния а и ft и является вершиной прямого угла прямоугольного треугольника ЛВС; точка В лежит на прямой 1\, точка С — на прямой /г.

Доказать, что из всех таких треугольников наименьшую площадь имеет треугольник с катетами а д/2 и b л/2.

В треугольник вписан прямоугольник.

Доказать, что площадь прямоугольника не больше половины площади треугольника.

Доказать, что из всех параллелограммов, вписанных в данный треугольник так, что у треугольника и параллелограмма есть общий угол, наибольшую площадь имеет параллелограмм, вершина которого делит пополам сторону треугольника, противолежащую общему углу.

В треугольнике ABC площадь равна S и ZB = p.

Найти наименьшее значение: а) суммы сторон АВ и ВС; б) стороны АС; в) периметра треугольника.

Из всех равнобедренных треугольников с постоянной длиной медианы, проведенной к боковой стороне, найти треугольник с наибольшей площадью.

Чему равен угол при вершине такого треугольника?

В треугольнике ABC со сторонами a, ft и с стороны АВ и АС продолжены за вершины В и С на расстояния AD и АЕ так, что BD-\-CE = AC.

В треугольнике ЛВС на стороне АС взята произвольная точка, из нее опущены перпендикуляры на стороны АВ и ВС.

В данный прямоугольный треугольник вписать прямоугольник, имеющий с треугольником общий прямой угол и наименьшую диагональ.

а) Доказать, что из всех треугольников с данным острым углом при вершине и данным основанием наибольшую медиану, проведенную к основанию, имеет равнобедренный треугольник, б) Доказать, что из всех треугольников с данным тупым углом при вершине и данным основанием наименьшую медиану, проведенную к основанию, имеет равнобедренный треугольник.

Через вершину В данного треугольника ABC проведена прямая Л Из точек А и С опущены перпендикуляры на эту прямую.

Доказать, что сумма этих перпендикуляров будет наименьшей, если прямая / перпендикулярна медиане ВМ треугольника ABC.

а) Из всех равнобедренных треугольников данной площади S найти тот, в который можно вписать окружность наибольшего радиуса.

б) Около окружности радиуса г описать равнобедренный треугольник наименьшей площади.

Кроме того, треугольник ABC правильный, поэтому СОА.

Так, если фигура Ф0 — это прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 и 30 см, то фигурой Ф можно считать любой такой прямоугольный треугольник, отношение катетов которого равно 5:30, например прямоугольный треугольник с катетами 1 и 6 см.

5) свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией;

Построить: а) точки пересечения прямых АВ(А'В'), АС (А'С') и ВС(В'С') с плоскостью л'; б) точки пересечения медиан треугольника ABC с плоскостью л'; в) прямую, по которой пересекаются плоскости ABC и л'.

Из треугольника ABV по теореме косинусов AV2 = AB'J + BV'2—2AB-BVX Xcos ABV.

И наконец, применяя к треугольнику APV теорему косинусов, получим

В рассмотренных примерах при построении следа секущей плоскости мы имели дело с треугольниками PQR и P'Q'R', у которых прямые РР', QQ' и /?

Это значит, что треугольники PQR и P'Q'R' дезарговы, т.

Высота hc является общим катетом двух прямоугольных треугольников АСН и СНВ (рис.

Следом искомой секущей плоскости является прямая 5зС, а треугольник CRSt — искомое сечение.

Прямая Sifi — след искомой секущей плоскости, и тогда треугольник BPS?

Итак, треугольник А^ВчСг — искомое сечение.

План решения: найдем длины отрезков AD и BD, а затем, применив к треугольникам ACD и BCD теорему косинусов (учтя при этом, что /L ACD= Z.

Эта боковая грань и основание пирамиды являются правильными треугольниками.

извольный треугольник ABC мы считаем изображением правильного треугольника.

Треугольник SBC мы считаем изображением также правильного треугольника и, таким образом, расходуем еще два параметра.

Проведем медиану SD треугольника SBC.

Так как треугольник SBC правильный, то медиана SD является и высотой треугольника SBC.

Проведем медиану СМ треугольника ABC.

Так как треугольник ABC правильный, то CM.

Из вершины А равностороннего треугольника ABC к плоскости ABC восставлен перпендикуляр, на котором взята точка D — такая, что AD — AB.

Для отыскания cos x применим теорему косинусов к треугольнику ABC для стороны АВ.

Считая произвольный треугольник ABC изображением правильного треугольника, мы расходуем два параметра.

122 чить его в какой-нибудь треугольник.

Если, например, из точки А опустить перпендикуляр АЕ на прямую / и соединить точку D с точкой Е, то угол ОСЕ, являющийся искомым, будет углом прямоугольного треугольника ОСЕ.

1, В треугольнике ABC проведем медиану СМ.

Так как треугольник ABC правильный, то медиана СМ будет и высотой треугольника ABC.

Положив далее АВ = а, найдем, что в прямоугольном треугольнике ОСЕ CE = AM = -,DEоткуда Z.

) Нетрудно подсчитать, что в треугольнике CDF CF — a, CD = DF = a^f2, и по теореме косинусов DF2 = CD2 + CF2 — 2CD-CF cos -/ DCF , откуда cos Z-DCF = , т.

Один из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника лежит в плоскости л, а другой образует с ней угол 45°.

Считая произвольный треугольник ABC изображением прямоугольного треугольника, расходуем на изображение один параметр.

в прямоугольном треугольнике ABB' ВВ':АВ=\:2, а это значит, что

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а биссектриса одного из острых углов равна ^-~- •

Так, если произвольный треугольник ABC принят за изображение треугольника с заданным отношением сторон АВ:ВС:СА, то можно построить изображения высот этого треугольника, изображения центров окружностей, вписанной в этот треугольник и описанной около него.

Если в плоскости этого треугольника задан некоторый отрезок DE, то можно построить изображение квадрата, стороной (или диагональю) которого является отрезок DE и т.

Так, если фигура Ф — это треугольник ЛВС, являющийся изображением равностороннего треугольника, то фигура Фо — это любой равносторонний треугольник ЛоВоСо.

На рисунке 125, б показан треугольник SoA0Ca имеющий форму оригинала грани SAC.

Это треугольник с прямым углом при вершине S0 и с отношением сторон S0C0:S0A0 = 3-2 Рисунок 125, б является выносным чертежом.

На рисунке 125 в показан треугольник S0A0B0, имеющий форму оригинала грани S

Это равнобедренный прямоугольный треугольник, у него S0A0 = SoB0.

На рисунке 125, г построены равнобедренный прямоугольный треугольник SoA0B0, прямоугольный треугольник SaA0C0 с отношением катетов 5оСо:5(Ио = 3:2 и равнобедренный треугольник А0С0(Во)\, у которого AoCo = Co(Bo)t, а сторона А0(В0)\ равна гипотенузе А0В0 треугольника SoA0B0.

0)1 оригинала треугольника SDE и на новом выносном чертеже 125, д строим треугольник SoDuEo по трем полученным сторонам.

В этом треугольнике проводим (точно) перпендикуляр SoX0 из точки So на прямую D0E0.

Если заметить, что отрезок DE является средней линией треугольника ABC, т.

Так, если произвольный треугольник ABC принят за изображение треугольника с отношением сторон ЛВ:ВС = 3:4, то на этом изображении можно построить бис- Рис.

Однако построить изображения двух других биссектрис этого треугольника на указанном изображении нельзя.

Призма, две боковые грани которой являются квадратами, а в основании ее лежит: а) прямоугольный треугольник; б) треугольник, площадь которого равна половине площади грани, являющейся квадратом; в) треугольник, одна из биссектрис которого делит противоположную сторону в отношении 1:2.

Пирамида, боковое ребро которой перпендикулярно плоскости ее основания и равно большей стороне основания, а в основании лежит: а) равнобедренный треугольник; б) равнобедренный прямоугольный треугольник; в) треугольник с отношением сторон, равным 1:1:-\/2.

Пирамида, диагональным сечением которой является правильный треугольник, а в основании ее лежит: а) квадрат; б) прямоугольник; в) равнобедренная трапеция.

Пирамида, каждое боковое ребро которой образует с плоскостью основания угол, равный 45е, а основанием является: а) равносторонний треугольник; б) равнобедренный прямоугольный треугольник; в) треугольник с отношением сторон, равным 2:3:4.

V 3 / ме того, по теореме о биссектрисе треугольника имеем АС_==?

Пирамида, все боковые грани которой одинаково наклонены к плоскости ее основания, а основанием является: а) равнобедренный прямоугольный треугольник; б) прямоугольный треугольник с отношением катетов, равным 1:2; в) прямоугольный треугольник, высота которого, проведенная на гипотенузу, делит ее в отношении 1:3.

Пирамида SABC, основанием которой является правильный треугольник ABC, а ее боковое ребро SA: а) перпендикулярно ребру АВ; б) перпендикулярно ребрам АВ и АС; в) перпендикулярно ребрам SB и АС.

Призма АВСА]В\С\, вершина Ci которой проектируется в точку С' — середину ребра АВ, а в основании лежит: а) правильный треугольник; б) прямоугольный треугольник с отношением катетов, равным 1:2; в) треугольник, у которого СС' = ~ЛВ.

На ребре АС прямой призмы ABCAtB{Ct, в основании которой лежит прямоугольный треугольник ABC и у которой АС = ВС = AAt, взяты точки D,?

Из треугольника ABC находим: АС = ссо&'2х, из треугольника ACD имеем —?

В основании треугольной пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC и ее сечение плоскостью SCK, где точка К — середина ребра АВ — является также правильным треугольником, высота SO которого является высотой и пирамиды.

Так как треугольник A,,E0Fu прямоугольный, то, если Л0//о — его высота, выполняется соотношение

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведены высота и медиана.

Тогда AD = a^/2, AM = ад/2/2, и из прямоугольного треугольника АВМ найдем: ВМ=^-^.

Далее, из равенства прямоугольных треугольников СОМ и АВМ следует, что СМ = ВМ, т.

Отметим, что ради краткости мы называем треугольники СОМ и АВМ равными, имея в виду, естественно, что эти треугольники являются изображениями равных в оригинале треугольни'ков CoDoAfo и АоВ0Мо.

Перейдем к треугольнику ВМС.

Тогда, если CXJLBM, то точка X, в которой пересекаются искомая прямая и прямая ВМ, лежит между точками В и М, а отрезок СХ — это общий катет прямоугольных треугольников ВСХ и МСХ.

Выразив из каждого из этих треугольников СХ2, получим уравнение , откуда В=-.

Так как в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то = СМ = МВ = — h.

Приняв произвольный треугольник ABC (рис.

На изображение заданного треугольника израсходовано два параметра.

Построим треугольник А0В0Со (рис.

треугольник, подобный заданному треугольнику.

На сторонах А В и ВС треугольника ABC (рис.

Тогда треугольник BK.

L является изобра** ожением равнобедренного треугольника BoKoLo, а поэтому медиана ВМ треугольника BKL является изображением искомой биссектрисы.

Можно было бы также достроить треугольник KBL, построенный на рисунке 129, в, до ромба K.

Так как диагональ ромба равна его стороне, то треугольник ABD является изображением равностороннего треугольника.

В равнобедренном треугольнике ABC угол С при вершине равен 100°.

Параметрическое число изображения ромба р = 2, так как, считая треугольник ABD (A'B'D') изображением равностороннего треугольника, мы полагаем, что отрезки АВ (А'В') и AD (A'D') — это изображения равных отрезков, и, таким образом, расходуем один параметр и аналогично, считая отрезки АВ (А'В') и BD (B'D1) изображениями равных отрезков, расходуем еще один параметр.

Опустим из точки М перпендикуляры на стороны треугольника: МС,_1ЛВ, МВ,_ЫС, МА{±ВС (рис.

Из равенства (по трем сторонам) треугольников AD'K и E'D'K и равенства отрезков AD' и D'E' следует, что КК" = КК'.

Из треугольника СМВ\ находим: МВ\ —МС sin x = a sin х.

Так как /_АСВ= 100°, а треугольник ABC по условию равнобедренный, то /,САВ = ^ЛВС = 40°.

Из треугольника АМВ\ находим: АМ = - мв> — asmx sin 10° sin 10°

Приняв произвольный треугольник ЛВС за изображение равностороннего треугольника Л0ВоСо, на стороне В0С<> которого взята точка Ра — такая, что ВоРп:ВоСо = 2:3, построить изображения прямых, перпендикулярных прямой Л0Ро и проходящих через следующие точки: а) В(); б) С>; в) /V

Приняв произвольный треугольник ABC за изображение прямоугольного треугольника АоВчСа, у которого ЛоСп = В0Со, построить изображения квадратов, сторонами которых являются: а) катет треугольника ЛоВоСо; б) биссектриса угла Ло; в) высота, опущенная на гипотенузу Л0В0.

Приняв произвольный треугольник ЛВС за изображение треугольника ЛоВоСо с отношением сторон, равным 3:4:6, построить: а) изображение центра окружности, описанной около треугольника ЛоВоСо; б) изображение центра окружности, вписанной в треугольник ЛоВоСо; в) изображения центров окружностей, вне вписанных в треугольник ЛоВоСо.

Приняв произвольный треугольник ЛВС за изображение правильного треугольника Л0ВпСо, построить изображение точки ,Мо — середины стороны ЛпСп — и изображения прямых, проходящих через точку Мо, перпендикулярно прямым СцР0, если точка Р„ лежит на прямой АаВ0 и отношения Л0Ро:Л0Во принимают следующие значения: а) 1:2; б) 2:1; в) 3:2.

Рассмотрим треугольник СМА\.

Приняв произвольный треугольник ЛВС за изображение прямоугольного треугольника Л(>ВоС0, построить изображение прямоугольника с отношением сторон, равным 1:2, вписанного в треугольник ЛпВоС(> так, что прямой угол треугольника является углом и прямоугольника, если отношение катетов ЛоС0:В0Со принимает следующие значения: а) 1:3; б) 1: т/2; в) ^2:2

Приняв произвольный треугольник ABC за изображение треугольника Л0ВоСо, у которого Лсво = ЛоС0 и Zflo/40Co = 450, выполнить следующие построения: а) построить изображения точки, лежащей на стороне АПС» и одинаково удаленной от вершин А0 и Во, и точки, лежащей на стороне Л0В<> и одинаково удаленной от вершин Л0 и С0; б) построить изображения прямых, проходящих через точку АО, перпендикулярно прямым АоВ<, и ЛоСо; в) на изображениях биссектрис углов ЛцВоСо и ЛоСоВо построить изображения точек, одинаково удаленных соответственно от вершин Аа и С0 и от вершин А0 и В0.

В плоскости АВ' построить точку D — такую, чтобы треугольник ABD был изображением: а) равностороннего треугольника; б) равнобедренного прямоугольного треугольника с прямым углом при вершине Со; в) прямоугольного треугольника с отношением катета к гипотенузе Л0С,1:Л1)В0=1:2.

Так как ZMBC = 40° — 20° = 20°, то треугольники ВМС, и 1: равны, а потому МС\ =МА\ = а sin (100° — х).

Построить прямые, перпендикулярные плоскости ABC и проходящие через следующие точки: з) А {А'); б) D ([}'} -середину отрезка ВС(В'С'), в) М(М') — точку пересечения медиан треугольника ABC (А'В'С').

Построить следующие геометрические места точек: а) одинаково удаленных от сторон АС и АВ треугольника ABC, б) одинаково удаленных от всех сторон треугольника ABC, в) одинаково удаленных от вершин треугольника ABC.

В треугольнике ЛВС проведена высота СН.

Построим прямоугольные треугольники 5(ИоВ0, SoBoCo и 50ЛоСо, подобные соответственно треугольникам — оригиналам боковых граней пирамиды.

Так как треугольники 5<И0Во, SoBoCo и SiHoCo попарно имеют общие стороны, то удобно построить их все на одном выносном чертеже, например так, как это показано на рисунке 134, 6.

построим точку Do — такую, что SoDo:SoCo = 2:3, и на этом же рисунке 134, б построим треугольник AoBgDo, подобный оригиналу треугольника ABD.

В треугольнике ЛбВо^о строим (точно) A'oXo-LBnDo и затем, вернувшись к рисунку 134, а, строим на нем точку X, которая делит отрезок BD в таком же отношении, в котором точка Х0 разделила отрезок ВоА).

Заметив, что прямоугольные треугольники SAB и SAD равны (по двум катетам), приходим к выводу, что AB=AD.

Тогда в равнобедренном треугольнике ABD медиана АХ будет перпендикулярна прямой BD, т.

Введем неизвестную АН = х и вспомогательный параметр ВС = 2а (меньшая из сторон треугольника ЛВС).

Из прямоугольного треугольника AA\D A\D2 = §a2, а из прямоугольного треугольника CDF DF'2 = ^-.

Тогда из прямоугольного треугольника ABF AF2 = и из прямоугольного треугольника A\AF A\F= - *'?

Далее ради экономии места на этом же рисунке 135,6 построим прямоугольный треугольник (AfyAoFo, подобный оригиналу треугольника A\AF, т.

прямоугольный треугольник с катетами A0Fo и (А\)оАо = Ао(А\)о.

Теперь на этом же выносном чертеже построим треугольник (A\)oDoFo по трем сторонам (на рисунке 135, б этот треугольник закрашен).

Из прямоугольного треугольника Л С// // способ.

В построенном треугольнике (A\)oDoFo проведем (точно) DoXo-L(Ai)oFo.

Из прямоугольного треугольника ВСН

Основанием прямой призмы АВСА\В\С\ является равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине С.

CPA тупой, и, значит, перпендикуляр, проведенный к прямой СР через точку /4, лежит вне треугольника АСР, а

В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит прямоугольный треугольник и АС = ВС = АА\ = а.

Геометрическим местом точек, одинаково удаленных от точек А, В и D, является прямая, перпендикулярная плоскости ABD и проходящая через точку пересечения перпендикуляров к серединам сторон треугольника ABD.

Но треугольник ABD, как нетрудно доказать, равносторонний, поэтому его медианы являются и перпендикулярами к серединам сторон.

138, б), на котором построим прямоугольный треугольник SoDoFo, имеющий форму оригинала треугольника SDF.

Стороны треугольника S0D0Fо можно было бы найти с помощью других выносных чертежей (треугольник 5<ИоСо, затем треугольник АоВоСо, далее треугольник 5<ИоВо), но можно поступить и по-другому.

Так как в прямоугольном треугольнике SAB SA = SB, то SF = SA^/2/2.

в прямоугольном треугольнике S?

На стороне F0D0 треугольника S^DoFo находим (например, с помощью луча /) точку М0 — такую, что F0Mf,:FoDo = \ :3.

Перейдем теперь к построению треугольника, имеющего форму оригинала треугольника SOF (рис.

Итак, построим прямоугольный треугольник SoOoFo по двум катетам.

Треугольник BMD — искомое сечение.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC, ребро SC перпендикулярно плоскости основания и отношение ребер CA:CB:CS=-j2:^/2:l.

Будем считать основанием пирамиды треугольник C\DB.

Его сторона CD является медианой прямоугольного треугольника

Нетрудно убедиться, что в этом треугольнике BC\ = C\D = // способ.

Тогда медиана СМ равнобедренного треугольника SCD перпендикулярна его стороне SZX

Ясно, что в треугольнике SAB SA = SB, т.

Будем теперь считать треугольник BCD основанием пирамиды CC\BD.

Боковые грани правильной пирамиды SABCD — равносторонние треугольники.

Ho DE _L SC, так как DE — медиана равностороннего треугольника.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике OCD CD = л/2.

Это значит, что и SC=V2, а в прямоугольном треугольнике

Положив ребро призмы равным а, находим, что в треугольнике АВС\ АС\ = ВС\ =а -\/2.

Выполнив эти подсчеты, строим на стороне ВС\ треугольника АВС\ точку Я — такую, что ВЯ:ВС| = 1:4.

Это треугольник СКВ\.

Точка D — середина ребра SA пирамиды SABC, в основании которой лежит правильный треугольник ЛВС,и боковое ребро SA которой перпендикулярно плоскости основания и SA=AB.

— середины соответственно ребер SB и SC пирамиды SABC, основанием которой является прямоугольный треугольник ABC.

В основании призмы АВСА,В,С, лежит правильный треугольник ABC, а ее боковые грани АА,В,В и АА,С,С — ромбы с острым углом, равным 60°.

, и АС прямой призмы АВСА1В1С1, основанием которой является прямоугольный треугольник ABC и ЛС=ВС=СС,.

Точки Р и Q — середины соответственно ребр SC и SD правильной пирамиды SABCD, диагональным сечением которой является правильный треугольник.

В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC.

Плоскость а проходит через точку D — середину ребра АА\ — и через вершины В| и С, призмы АВСА\В\С\, в основании которой лежит прямоугольный треугольник ABC и боковые грани АА,С,С и ВВ\С\С которой — квадраты.

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник АВС, а ее боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания.

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC, боковая грань SAB пирамиды перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником.

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник с отношением сторон AB:AD=l:2, а ее диагональное сечение является правильным треугольником.

Построить сечения правильного тетраэдра SABC плоскостями, проходящими через точку Р — середину ребра SC, перпендикулярно следующим прямым: a) SB; б) SM, где точка М — середина ребра АВ; в) SK, где точка К делит медиану BL треугольника ABC в отношении BK:BL = 1:3.

В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит прямоугольный треугольник и AC=BC = AAt.

Точка М — середина ребра ЛЛ, прямой призмы ЛВСЛДС,, основанием которой является прямоугольный треугольник, а отношение ребер АО.

На стороне АВ правильной пирамиды SABC взята точка D — середина этого ребра, а на прямой CD взята точка L — такая, что треугольник SDL равносторонний.

Два равных равнобедренных прямоугольных треугольника ABC и АВ\С расположены так, что катет АС у них является общим, а ВВ\=АВ.

Таким образом, угол ф мы включили в треугольник DFK.

Подсчитаем теперь стороны этого треугольника.

Тогда в равнобедренном треугольнике SAC с прямым углом при вершине S медиана SE равна половине гипотенузы АС, и, следовательно, средняя линия FK.

треугольника SEC равна -J-.

Сторону DF подсчитаем из треугольника SDF.

Поэтому в треугольнике SDF

Ho SD =—, SF=-^-SC, где из прямоугольного равнобедренного треугольника.

Затем в треугольнике ADK DK2=AD''

треугольника DOK.

Из треугольника DC К DK2 = CK2 + CDZ — 2CK-CD cos DCK, где CK=-^-, CD — -— SC = -^- , и из прямоугольного треугольника

Применяя теперь теорему косинусов к треугольнику DOK, получаем ZM =(M + UU" — 2UK-UU cos ф, или ^^- = ^--\-^^— _2.

Для включения искомого угла в треугольник можно было бы поступить и по-другому.

Подсчитав из треугольника SML угол SML, мы нашли бы затем и угол между прямыми SM и ВК.

Грань SAB является равносторонним треугольником, а ее медиана SF перпендикулярна плоскости основания.

В треугольнике ABD

Основанием призмы АВСА\В\С( является прямоугольный треугольник ЛВС, у которого ЛС = ВС.

В основании, пирамиды 5ЛВС лежит прямоугольный треугольник ABC.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC.

Не приводя здесь всех теорем планиметрии (большинство из них хорошо известны студентам: это признаки равенства произвольных треугольников, признаки равенства прямоугольных треугольников, различные свойства равнобедренного треугольника, параллелограмма, ромба, прямоугольника, теорема Фалеса, теорема Пифагора, соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника, признаки подобия треугольников, теорема о равенстве дуг, заключенных между параллельными хордами окружности, и т.

В основании пирамиды 5ЛВС лежит прямоугольный треугольник ABC.

ТРЕУГОЛЬНИКИ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC, a ее боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SS = АВ.

Грань SAB является правильным треугольником, медиана SM которого перпендикулярна плоскости основания.

В основании пирамиды SABC с равными боковыми ребрами лежит треугольник ABC, у которого АС=ВС и ^ЛСВ=90°.

Грань SAB является правильным треугольником.

В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С и СС\:АВ = 2:^/2.

В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с углом АСВ, равным 90°.

В основании прямой призмы ABCAtBiCt лежит прямоугольный треугольник, а CCi =ЛС=ВС.

Эти теоремы справедливы и для средней линии треугольника, если считать треугольник «вырожденной» трапецией, одно из оснований которой имеет длину, равную нулю.

Теоремы о точках пересечения медиан, биссектрис, высот треугольника: а) три медианы треугольника пересекаются в одной точке (ее называют центром тяжести или центроидом треугольника) и делятся в этой точке в отношении 2:1, считая от вершины; б) три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; в) три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ее называют ортоцентром треугольника).

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике: в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.

Для определения расстояния от точки до прямой обычно рассматривают треугольник, одной из вершин которого является заданная точка, а две другие лежат на заданной прямой.

Искомое расстояние находят как высоту этого треугольника, для чего в большинстве случаев подсчитывают сначала стороны треугольника.

Вычисление сторон треугольника и затем его высоты выполняют поэтапно-вычислительным способом.

Верна и обратная теорема: если в треугольнике одна из медиан равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

Из прямоугольного треугольника D\DQ D\Q = a^/2.

Из прямоугольного треугольника PQL

Так как в треугольнике D,PQ ,P

Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника: биссектриса внутреннего угла треугольника делит сторону, к которой она проведена, на части, пропорциональные прилежащим сторонам: -2-=-^ (рис.

Далее из прямоугольного треугольника D\QH находим:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике: если а и b — катеты, с — гипотенуза, h — высота, а' и Ь' — проекции катетов на гипотенузу (рис.

СВР находим: CP=^JBC2-{- BF& = моугольного треугольника 17

Чтобы подсчитать стороны CQ и PQ треугольника CPQ, выполним дополнительные построения:

Из прямоугольного треугольника CNK т.

4 ' 16 а из прямоугольного треугольника CQN

/LBPO — 90°, и тогда P/V — медиана, проведенная на гипотенузу 0В треугольника ВОР, равна:

Тогда из прямоугольного треугольника PQN

Итак, в треугольнике CPQ известны все три стороны:

Из прямоугольного треугольника CQH получаем

, где R — раsin Л sin В sin Сдиус описанной около треугольника окружности.

По теореме косинусов в треугольнике CPQ

Определение вида треугольника по его сторонам: пусть a, b не — стороны треугольника, причем с — наибольшая сторона.

Тогда: а) если С2<а2 + й2, то треугольник остроугольный;

Соединив точку DI с точками Oi и К, получим треугольник D\0\K, высота которого, проведенная из вершины DI, и является искомым расстоянием.

Из равенства прямоугольных треугольников С\0\Т и А\0\Р (по двум катетам) ясно, что ТО\ = О\Р.

Тогда в треугольнике

29 б) если с —а + Ь , то треугольник прямоугольный; в) если с2 >а2 + Ь2, то треугольник тупоугольный.

Для этого соединим точку D\ с точками Q и Т и рассмотрим треугольник D\QT.

Из прямоугольного треугольника TCQ, где

Из прямоугольного треугольника DD\Q D\Q= ^.

в треугольнике D\QT медиана D\K является и высотой.

Теоремы Чевы: пусть в треугольнике ABC на сторонах АВ, ВС, АС взяты соответственно точки D, E, F.

Тогда из прямоугольного треугольника

Итак, в треугольнике D\0\K известны все три стороны:

Так как /)>/( — наибольшая из сторон треугольника D\O\K и D,0?

Из прямоугольного треугольника D\0\H находим:

Подсчитаем С\Н из подобия прямоугольных треугольников С,Я/?

Для этого, подсчитав стороны прямоугольного треугольника DiSiS2, построим сначала в плоскости А\В\С\ D[L-LS\S2- Ясно, что D\S\ —2D\C\ = = 2а, D|S2 = 2DHi=4a, и тогда SiS2=V^iSi +D|S^=2a V5.

Если DiLJ-SiSg, то в треугольнике DiSiS2 biS2==SiL-5iS2) откуда SiL=—.

Подсчитаем D\H, выражая двумя способами площадь прямоугольного треугольника D\DL.

В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.

Треугольник АВ\М — вспомогательное сечение призмы плоскостью р.

Итак, в плоскости АСС\ проводим прямую КЦ\АМ, затем в плоскости ABB] — прямую LN\\AB\ и точку N соединяем с точкой К- Треугольник KLN — сечение призмы заданной плоскостью.

В треугольнике А\В\С\ проведем медиану C\D.

Так как A\D = =—А\В\, a A\N =—A\B\, то точка N — середина стороны A\D треугольника A\C\D.

Кроме того, по условию точка К — середина стороны Atd этого треугольника.

Но в треугольнике А\В\С\ А\С\=В\С\, т.

В прямоугольном треугольнике A\LN A\L = — , A\N

Если прямая C\K\JLB\D\ и С\К\ пересекает D\B\ в точке F, то в прямоугольном треугольнике B\C\D\ D\F-D\B\ = C\D\, откуда u\r = jr-jr

Теперь можно перейти к вычислению расстояния С\Н, Подсчитаем стороны прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника C\D\F

Из подобия прямоугольных треугольников DiK\F и C\D\F

Теоремы об окружностях и треугольниках: а) около всякого треугольника можно описать окружность; центром окружности служит точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам через их середины; б) во всякий треугольник можно вписать окружность; центром окружности служит точка пересечения биссектрис.

Из прямоугольного треугольника K.

Теперь, когда стороны треугольника К\КгР известны, из подобия прямоугольных треугольников KiKzF и C\HF находим, что -.

В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, а боковая грань SAB перпендикулярна плоскости основания и является равнобедренным треугольником с прямым углом при вершине S.

Так как точка О — середина АВ, то SO и СО — это медианы соответственно треугольников SAB и CAB.

Но в этих треугольниках SA = SB и АС = ВС.

Более того, ясно, что равнобедренные прямоугольные треугольники SAB и ABC, имеющие общую гипотенузу АВ, равны между собой, т.

В прямоугольном треугольнике ABC СО=^.

В прямоугольном треугольнике COL и из равенства OH-CL — CO-OL получаем а л/2

В основании правильной призмы АВСА\В\С\ лежит треугольник со стороной а.

LAB\, то треугольники BtPM и АВ,В подобны, т.

Из прямоугольного треугольника В\РМ находим:

В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, а ее боковое ребро равно стороне АС основания.

В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, и каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°.

Если у двух треугольников равны основания, то их площади относятся как высоты; если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания.

Точка М — середина ребра SB пирамиды SABC, основанием которой является правильный треугольник ABC, a боковое ребро SC перпендикулярно плоскости ABC и SC = 2/4B.

В основании прямой призмы ABCA{B,Ci лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник, а ее боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и 5С = ЛС = ВС.

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник, а ее боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и SC = AB.

В основании пирамиды SABC лежит треугольник с прямым углом при вершине С и АС = ВС.

В основании призмы ABCAtB\Ci лежит правильный треугольник.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС = а, а боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SB = a.

В основании пирамиды SABC лежит треугольник с прямым углом при вершине С и АС=а, ВС—2а, а боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и SC = BC.

В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.

В основании прямой призмы ABCA\B\Ci лежит прямоугольный треугольник, у которого ЛС = #С = а.

В основании прямой призмы ABCA\B\Ct лежит прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС = а.

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник со стороной а.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС = а.

Затем необходимо подсчитать какие-нибудь две стороны получаемого при этом построении прямоугольного треугольника, в который входит угол ф.

ТРЕУГОЛЬНИКИ И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

В прямоугольном треугольнике А\В\О\ имеет место соотношение A\B\=A\H~A\D\.

Зная теперь отношение, в котором точка Н делит сторону A\D\ треугольника A\B\D\, строим эту точку.

Продолжая вычисления, находим, что В\Н—^*^, D\H = —, и из прямоугольного треугольника DD\H D// = 3a^5.

И наконец, из прямоугольного треугольника DB\H получаем т.

Для задания оси By отметим, что в треугольнике ABD BD2 =

Тогда в треугольнике ABD AD2 = AB2 + BD2, т.

В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.

Тогда SO — общий катет треугольников SOA, SOB и SOC.

Так как эти треугольники имеют еще по равному острому углу, то они равны, и, следовательно, ОА = — ОВ = ОС.

В прямоугольном треугольнике точкой, равноудаленной от его вершин, является середина гипотенузы.

Так как в треугольнике SAB Z.

SBA =45°, то треугольник SAB равнобедренный и Z.

Аналогично равносторонним является и треугольник SBC.

Проведем медиану AF равностороннего треугольника SAC.

Зная медианы та, ть и тс треугольника ABC, найдем сторону А С = Ь.

Из прямоугольного треугольника АМН smAMH = —.

Из прямоугольного треугольника AFH находим: АН — = ^/AF2 — FH2 =?

-*-, а из прямоугольного треугольника ASM

По свойству медиан в треугольнике (теорема За) медианы пересекаются в одной точке М и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины (рис.

Соединим точку D с точкой С и проведем в треугольнике DA\C медиану А\К.

в треугольнике DA\C A\K.

Проведем далее в равностороннем треугольнике ABC медиану ВМ.

Так как прямая ВМ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскостям АСС\А\, то ВМ — это перпендикуляр к плоскости грани АСС\А\, и, значит, соединив точку М с точкой Ci, мы получим С\М — проекцию прямой ВС\ на плоскость грани АСС\А\ — и прямоугольный треугольник С\ВМ, угол ВС\М которого является углом между прямой ВС\ и плоскостью грани

Рассмотрим прямоугольные треугольники С\ВМ и A\DK.

У них BC\=A\D, и так как в треугольнике ADC?

Но и в треугольнике ABC BM = AC^.

Итак, прямоугольные треугольники С\ВМ и A\DK равны (по гипотенузе и катету).

В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.

Удвоив его медиану MD, достроим треугольник до параллелограмма АМСР.

В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник ABC, боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SB:AB=\f3;\.

Найдем сумму квадратов медиан треугольника, если известны его стороны a, b и с.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник, а ее боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SB = ВС - АС.

Боковая грань SAB перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником.

В основана и пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник, у которого /4С = ВС.

Основанием пирамиды является правильный треугольник ABC, а ее вершина S проектируется в точку О, симметричную точке С относительно прямой АВ.

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат, а ее боковая грань SAB перпендикулярна плоскости основания и является правильным треугольником.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС.

Высота призмы ABCAiBiCi, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С, равна гипотенузе этого треугольника.

Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит ее на части: 9 и 16 см.

В основании прямой призмы АВСА1В1С1 лежит треугольник с прямым углом при вершине С.

Из вершины большего острого угла треугольника проведена прямая, проходящая через середину высоты.

Найдем длину отрезка этой прямой, заключенного внутри данного прямоугольного треугольника (рис.

Подсчитывая стороны этого треугольника, находят какую-либо тригонометрическую функцию искомого угла ф (или угла ф,), а затем и угол ф.

Таким образом, угол QLM прямоугольного треугольника QLM — это угол между плоскостями CPQ и ABC.

Для построения перпендикуляра из точки В на LK, — линию пересечения плоскостей BLK и SAC — воспользуемся тем, что в треугольнике BLK BL = BK (как медианы равных равносторонних треугольников).

Тогда медиана ВМ будет перпендикуляром к стороне LK- Ля-лее, так как в треугольнике ALK AL = AK, то медиана AM этого треугольника перпендикулярна стороне LK.

Выяснить это можно, рассмотрев треугольники ВМА и BMN, у которых ВМ — общая сторона и AM — MN.

Ясно, что BN — медиана равностороннего треугольника SBK, т.

Найдем его из треугольника BMN.

-•&-, MN=-^-AN — -^-^- и из прямоугольного треугольника ВМК, в котором ВК=~*— и МК = — LK = -~, находим, что ВЛ1=-2-* —.

Теперь в треугольнике BMN все стороны известны и по теореме косинусов находим:

В треугольник со сторонами 10, 17 и 21 см вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на одной стороне треугольника, а две другие вершины — на двух других сторонах треугольника.

Итак, сечением пирамиды является треугольник АРЕ.

Так как 212> 102 + 172, то треугольник тупоугольный (теорема 9), а значит, вписать в него прямоугольник можно только одним способом: расположив две вершины на большей стороне (рис.

Угол EAF прямоугольного треугольника EAF — это, таким образом, угол между плоскостями л, и л2, т.

Итак, угол KAF прямоугольного треугольника KAF — это искомый угол.

Чтобы подсчитать какие-нибудь две стороны этого треугольника, введем вспомогательный параметр, положив, например, АК = а.

Тогда из прямоугольного треугольника АЕК, в котором Z.

AKE — & (так как по построению ЕК\\АВ), находим AE = asin p, а затем из прямоугольного треугольника АРЕ

Теперь из прямоугольного треугольника KAF cos = -=sm p cos a.

Найдем высоту ВН треугольника ABC.

Применение поэтапно-вычислительного способа связано с необходимостью построения линейного угла ф искомого двугранного угла (естественно, с учетом параметрического числа построенного изображения) и построения треугольника, содержащего этот угол ф или угол ф,, дополняющий угол ф до 180°.

Подсчитывая стороны построенного треугольника, находят угол ф.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник.

Треугольники ВЕР и ABC подобны.

Выполним построение C7/_L AM, подсчитав отношение АН: AM, в котором точка Н — основание перпендикуляра СЯ — должна делить сторону AM треугольника АМС.

Значит, -— =— (в по^Ч L< LJ IIдобных треугольниках отношение соответственных высот равно ко

(Заметим, что как нельзя было брать произвольно точку Н на стороне AM треугольника АМС, так и на прямой АВ нельзя взять произвольно точку К и считать при этом НК изображением перпендикуляра к прямой AM.

) Для построения этого перпендикуляра НК, заметим, что в треугольнике SBC SB = BC.

Поэтому медиана ВМ этого треугольника является и его высотой.

Соединим точку К с точкой С и найдем теперь стороны треугольника _ Из прямоугольного треугольника АСН СЯ=-\/ЛС2 — АН2 —

Из треугольника АСК СК2=АК2+АС2-2АК-АС-со&45°, т.

Применим теперь к треугольнику СНК теорему косинусов: 2-2HK-CH-cosCHK, или &=*?

Тогда угол РАЕ прямоугольного треугольника РАЕ равен 180° — а.

Получим прямоугольный треугольник AFK, угол KAF которого является искомым углом между прямыми АС и AD.

Чтобы найти величину этого угла, введем вспомогательный параметр, положив, как и в примере 5, АК = а, и найдем еще сторону AF прямоугольного треугольника AFK.

Из прямоугольного треугольника АЕК

АЕ = а sin p, а из прямоугольного треугольника АРЕ a.

Теперь из прямоугольного треугольника AFK cos

В треугольнике ABC известно, что угол А в два раза больше угла С, сторона ВС на 2 см больше стороны АВ, а АС = Ь см.

Проведем медиану AM треугольника ABC.

Из равенства сторон SB и SC треугольника SBC следует, что SM±BC.

В прямоугольном треугольнике SBC ВС = а л/2 и SM = — BC = =.

в треугольнике ASB

Тогда в прямоугольном треугольнике АМВ AM*=^jAB2 — ВМ — = а v10.

Теперь в треугольнике AMS известны все стороны.

угол AMS — линейный угол двугранного угла ABCS и угол AMS — острый угол прямоугольного треугольника AMS.

Проведем медиану SM треугольника SBC и точку М соединим с точкой А.

Так как SA=^SB и ^Л5В = 60°, то треугольник SAB равносторонний, Аналогично и треугольник SAC равносторонний, и ясно, что Д5ЛВ=Д5ЛС.

Тогда 5В = Дй = ДС и /Ш — медиана равнобедренного треугольника ABC, т.

AM — медиана прямоугольного треугольника ABC, и, следовательно,

Сравним теперь треугольники AMS и BMS.

176 основания пирамиды, получим треугольники SOA, SOB, SOC и SOD.

Значит, этот треугольник равнобедренный: AD — DC.

Тогда прямоугольные треугольники SOA, SOB, SOC и SOD, имеющие общий катет SO и по равному острому углу, равны между собой.

Отметим еще, что так как AB:AD:SA = I :-\/3:2, то, положив, например, АВ = а (вспомогательный параметр), найдем, что тогда AD = a^/3, SA = 2a и из прямоугольного треугольника ADC АС = Л/АО2~+~СО2 = 2а.

Итак, в треугольнике SAC SA = SC — AC = 2a.

OC = OD = — AC = a, то треугольник OCD равносторонний со стороной, равной а.

Так как KL\\BD, то угол EFL равен углу COD равностороннего треугольника OCD, т.

В треугольнике EFL L-cos60°, т.

Так как EL2 + FL2 = ^+ — =a2 и EF2 = a2, то в треугольнике EFL, EL±FL.

Из треугольника SOC находим, что

Треугольники ЛВО и ЛВС подобны, так как /1ВЛО = L.

ВСЛ и /LB у этих треугольников общий.

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса CD прямого угла, а через эту биссектрису проведена плоскость Р, образующая с плоскостью ABC угол, равный а.

В основании прямой призмы ЛВСЛ|В|С, лежит прямоугольный треугольник ЛВС, у которого ЛС = ВС = ЛЛ,.

В основании прямой призмы ЛВСЛ^С] лежит прямоугольный треугольник, у которого ЛС = ВС.

В основании пирамиды 5ЛВС лежит прямоугольный треугольник.

Основанием пирамиды SABC является правильный треугольник, а ее боковое ребро SB перпендикулярно плоскости основания и SB = AB.

Найти двугранный угол при боковом ребре правильной четырехугольной пирамиды в следующих случаях: а) боковая грань пирамиды является правильным треугольником; б) угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен а; в) угол между противоположными боковыми ребрами равен 2р.

В основании пирамиды SABC лежит равнобедренный треугольник ЛВС с прямым углом при вершине С, а боковое ребро SC пирамиды перпендикулярно плоскости ЛВС и 5С:ЛС=3:2.

В основании пирамиды с равными боковыми ребрами лежит равнобедренный треугольник ЛВС с углом при вершине С, равным 90°.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник ABC с отношением катетов ЛС:ВС=4:3.

LAD, то в прямоугольном треугольнике АВН будет ВН=~АВ.

Тогда Отрезок, равный а д/3, легко построить как катет прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза равна отрезку AD, а другой катет равен отрезку -^-AD.

Но если /-МНВ = 60°, то в прямоугольном треугольнике МНВ, в котором ВН — а, получим МН = 1а и

Отрезок, равный а -\/3, можно построить как катет прямоугольного треугольника, у которого другой катет равен ВВ\, а гипотенуза которого равна 2ВВ\.

в построенном затем прямоугольном треугольнике BF\M0 будет BF\=a-^J2 и ВМ0 = а^/3.

Тогда, так как будет N\N = B\B = a, из прямоугольного треугольника

2 треугольников ОВ\К и MAiK находим, что А\К=— а.

Тогда в треугольнике

Теперь из прямоугольного треугольника МЛ\Н tg №=-; — - =

Теперь строим искомое сечение — треугольник B\MN.

Так как ребро куба равно а и А\М=—АА\=—, = — A\Di =-2-, то из прямоугольного треугольника А\В\М B,yVf—.

_}/_ > из прямоугольного треугольника A\B\N B\N=^-^-,?

2, из прямоугольного треугольника A\MN AfjV = -^—.

Так как треугольник B\MN равнобедренный, то легко найти его высоту В,Я:

В основании пирамиды 5ЛВС'лежит прямоугольный треугольник.

Соотношение cos^ = — означает, что / = 60°, тогда в треугольнике ABC получаем, что Z1C = 60°, ^.

Проведем медиану BD треугольника SBC.

Так как в этом треугольнике SB*=BC, то BD.

В треугольнике SAC проведем прямую DE\\AC.

Так как в треугольнике ABC.

Так как в треугольнике SBC точка К — середина стороны ВС и LK\\BD, то LK — средняя линия треугольника CBD и LK=-^-BD.

Эта плоскость пересекает ось Сх в точке #(-«-; °; 0 ) , а точку L, в которой она пересекает прямую SC, можно построить, принимая во внимание, что прямая CS является биссектрисой треугольника FBC, у которого BC = FC, т.

В основании пирамиды SABC лежит треугольник с прямым углом при вершине С.

Так как в треугольнике SAC AC = SC, то медиана СМ является и высотой этого треугольника.

Из равенства прямоугольных треугольников SCB и АС В (по двум катетам) следует, что SB = AB.

Поэтому медиана ВМ треугольника SAB является и его высотой.

Это значит, что если в треугольнике ВСМ построить СН±ВМ, то будет SAA.

Имеем МС = -^-^—, MB — ^jAB2—7Ш2, и так как из прямоугольного треугольника ABC АВ = а^/5, то ВМ = Q V2

Для этого сначала из прямоугольного треугольника СВН найдем СН:

В основании пирамиды лежит правильный треугольник ABC, а ее боковое ребро Sfl перпендикулярно плоскости основания.

Найти площади полученных сечений, если треугольник ABC прямоугольный и' АС=ВС = АА, =а.

В треугольнике АМК имеем АК—, АМ = , МК

Найти площади полученных сечений, если в основании пирамиды лежит треугольник с прямым углом при вершине С, ЛС= — ВС = а и боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания, a SC = h.

Боковые грани пирамиды SABCD — правильные треугольники.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник ABC, ее боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и AC — BC = SC.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник, а ее боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и AC — BC=SC.

Треугольники SAB и ABC являются прямоугольными и AC = BC = SA = SB.

В основании пирамиды лежит правильный треугольник ABC, а ее боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и SC = AB.

В основании пирамиды лежит правильный треугольник ABC, а ее боковая грань SAB перпендикулярна плоскости основания и является также правильным треугольником.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник, а боковое ребро SC пирамиды перпендикулярно плоскости основания и SC = AC = BC.

Докажем, что во всяком треугольнике ЛВС расстояние от ортоцентра до вершины В вдвое больше расстояния от центра описанной около треугольника окружности до стороны АС.

Пусть ЛВС — остроугольный треугольник, точка Н — ортоцентр, точка О — центр описанной окружности, отрезки BD и АР — высоты, точки К и L — середины сторон, ОК и OL — перпендикуляры к сторонам (рис.

В основании пирамиды лежит правильный треугольник со стороной, равной а.

Одна из граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, и эта грань является равнобедренным треугольником с боковой стороной, равной Ь.

В основании прямой призмы АВСА\В\С\ лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.

Треугольники ЛВЯ и KOL подобны (ВН\\ОК, AH\\OL, AB\\LK).

Таким образом, угол АВ\С\ — это угол прямоугольного треугольника, и, значит, /_АВ\С\=а.

Из прямоугольного треугольника АВ\С\ B\C\=d cos, а.

Из прямоугольного треугольника ABC АВ = = d -<

В треугольнике B\DK.

Тогда и ВК = х, и из прямоугольного треугольника В\ВК.

Это значит, что и CD2 = /2 — 5x2, и поэтому из прямоугольного треугольника DC К, где СК=СВ-}-ВК = Зх, получим DK2 = CD2 + CK2, или DK2 = l2 -5х2 + 9х2, т.

Итак, в треугольнике B,D/CB,?

Применяя к треугольнику B\DK теорему косинусов, получаем

Соединив затем точку К с точкой D, получим треугольник DFK.

Ясно, что апофема SE является и медианой треугольника

Тогда из прямоугольного треугольника DFE, где DE = — , найдем, что

Пусть ЛВС — тупоугольный неравнобедренный треугольник, причем сохранены обозначения предыдущего случая (рис.

Тогда о о Л в треугольнике DC К с углом DC К, равным 45°, DK2 + CK2-2DC-CKcos45°, т.

Итак, в треугольнике DFK известны все стороны.

Укажем еще один путь включения искомого угла в треугольник.

Найти его величину можно из треугольника APT.

решение поэтапно-вычислительным способом), а из прямоугольного треугольника OCD = л/2, т.

OE = ^-, то из прямоугольного треугольника SOE SO =

Из равенства прямоугольных треугольников A[PQ и В\РТ\ находим, что Т\В\=-^-.

Из прямоугольного треугольника СВН

Через центроид правильного треугольника В плоскости этого треугольника проведена прямая.

Докажем, что сумма квадратов расстояний от вершин треугольника до этой прямой не зависит от выбора прямой.

Пусть прямая, о которой идет речь, образует с основанием Л С треугольника ЛВС угол а (рис.

Так как прямоугольные треугольники ТОК, TOL, ТОМ и ТОМ имеют общий катет и по равному острому углу, то они равны, и тогда OK = OL = OM = ON.

Так как ТО — это перпендикуляр к плоскости ABC, то проекцией треугольника TAB на плоскость ABC является треугольник

Аналогично проекциями треугольников ТВС, TCD и TAD на плоскость ABC являются треугольники ОВС, OCD и ОАО.

Тогда ясно, что АР и DQ — это перпендикуляры к ВС, PQ = AD = b и в прямоугольном треугольнике CDQ а — Ь

Из прямоугольного треугольника CDQ находим тогда высоту DQ трапеции: DQ = -\fCD'i

Правильный треугольник, сторона которого равна а, вращается вокруг оси /, параллельной его высоте и удаленной от нее на расстояние —а.

Из прямоугольного треугольника AAtH cos A\AH = -jj-.

00\=d, и, следовательно, соединив точку 0| с точкой А, мы получим треугольник 00\А, являющийся прямоугольным.

Из прямоугольного треугольника ОО\А ОА =

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и 8 см.

Основанием пирамиды является треугольник, отношение сторон которого равно 13:14:15, а каждый из двугранных углов при ребрах основания равен 45°.

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, в котором угол между равными сторонами равен 2<х.

Правильный треугольник, сторона которого равна а, вращается вокруг оси, которая параллельна стороне треугольника и проходит через его вершину, противолежащую этой стороне.

Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 и 12 см, вращается вокруг внешней оси, параллельной большему катету и удаленной от него на расстояние 3 см.

Равнобедренный треугольник с основанием, равным а, и углом при основании, равным ее, вращается вокруг оси, проходящей через один из концов основания, перпендикулярно к основанию.

Прямая / отсекает от сторон прямоугольного треугольника, угол между которыми равен 60°, отрезки, длины которых составляют 0,25 длины гипотенузы, считая от вершины этого угла.

Найти отношение площади данного треугольника к площади поверхности тела, полученного при вращении этого треугольника вокруг прямой /.

В основании прямой призмы ABCA,BiCt лежит треугольник с прямым углом при вершине С и АС = ВС = СС\.

Найдем зависимость между сторонами а, Ь и с треугольника ABC, если известно, что медиана AM, высота ВН и биссектриса CD пересекаются в одной точке (рис.

В основании пирамиды SABC с высотой SO лежит прямоугольный треугольник ABC и SO = AC = BC.

Секущая плоскость проходит через ребро основания правильной четырехугольной пирамиды и отсекает от противолежащей грани треугольник, площадь которого равна Qt.

В основании призмы лежит правильный треугольник, сторона которого равна о.

В основании призмы лежит правильный треугольник, сторона которого равна а.

Из прямоугольного треугольника BB\D BB\ =^/B\D2 — BD2.

Из треугольника ABC находим: треугольника ABD cos.

Так как заданный параллелепипед прямоугольный, то треугольники DD\N и CKL прямоугольные, и

Длину отрезка СК можно найти из подобия треугольников CKL и DD(N.

Соединим точку К с точкой Сь Из равенства (по трем сторонам) треугольников

Из прямоугольного треугольника A\D\D AiD — ^Jtf + x2.

Из прямоугольного треугольника A\B\D B\D = ^JA \ B\ -f- A \ D2 = = ^/2aг+~x^, и в этом треугольнике A\K-B\D = A \B\ -A\D, т.

Перейдем теперь к треугольнику А\С\К.

Применим к этому треугольнику теорему косинусов: или

Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через вершину С, перпендикулярно прямой ВС\ и, считая АВ — а, найдем объем того многогранника, отсеченного от призмы, одной из граней которого является треугольник ABC.

Построив ее, получаем в сечении треугольник СКМ.

Подсчитаем V — объем того многогранника, отсеченного от призмы, одной из граней которого является треугольник ABC.

Тогда AM — медиана правильного треугольника ABC, и, значит, AM.

Так как SO — это перпендикуляр на плоскость ABC, то проекцией треугольника SBC на плоскость ABC является треугольник

Из прямоугольного треугольника АМК ЛМ = -^-=— —.

Тогда V = (Vi + Vi) — (Уз+Ы где V\ и 1/2 — это объемы тел, полученных при вращении вокруг оси / соответственно трапеций ВВ\С\С и CC\D\D, a K3 и 1Л( — это объемы тел, полученных при вращении вокруг оси / соответственно треугольников ABBi и ADD\.

Из прямоугольного треугольника ABD находим, что BD = ^a2-\-b2 и АА\ =

Прямоугольный треугольник

Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит прямой угол в отношении 1:2 и равна т.

Точка, взятая на гипотенузе прямоугольного треугольника и одинаково удаленная от его катетов, делит гипотенузу на отрезки 30 и 40 см.

Основанием прямой призмы является равнобедренный треугольник, равные стороны которого имеют длину а и образуют между собой угол а.

В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковыми сторонами, равными а, и углом при вершине, равным а.

Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 18 и 24 см.

Найти биссектрису прямого угла прямоугольного треугольника с катетами а и Ь.

Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведена биссектриса, делящая гипотенузу на отрезки m и п.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна с, а острый угол равен а.

Две противолежащие боковые грани — равнобедренные треугольники, плоскости которых образуют с плоскостью основания углы, равные аир.

В прямоугольном треугольнике медианы, проведенные к катетам, равны V52 и т/73 см.

Найти объем призмы, если АВ = а и о треугольнике PQR известно, что он: а) равносторонний;

Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 12 см.

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник, сторона которого равна а.

В основании пирамиды SABC лежит треугольник, у которого А В = АС = а.

В основании пирамиды SABC лежит треугольник, у которого Л ЛСВ = 90°, ЛС = ВС = о.

В прямоугольном треугольнике ARC из вершины С прямого угла проведены биссектриса С К и медиана СМ.

Найти отношение объемов тел, полученных при вращении треугольника вокруг основания и вокруг оси, проходящей через вершину, параллельно этому основанию.

Треугольник со сторонами, отношение которых равно а:Ь:с, вращается сначала вокруг одной стороны, затем — вокруг другой и далее — вокруг третьей.

При вращении прямоугольного треугольника вокруг его катетов и вокруг гипотенузы образуются тела вращения, объемы которых равны соответственно

В прямоугольном треугольнике найти угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла, равного п.

В прямоугольном треугольнике ABC проведены биссектрисы острых углов AD и ВК.

Треугольник ABC, у которого АС = Ь, АВ = с и Z.

B/4C = a, вращается вокруг оси /, которая проходит через вершину А вне треугольника и образует равные углы со сторонами АС и АВ.

Прямоугольный треугольник вращается вокруг оси /, проходящей через вершину прямого угла, параллельно гипотенузе.

Доказать, что если высота и медиана, проведенные из одной вершины неравнобедренного треугольника, лежат внутри треугольника и образуют с его боковыми сторонами равные углы, то этот треугольник прямоугольный.

Катеты ВС и АС прямоугольного треугольника ЛИС продолжены за вершину прямого угла.

Основанием пирамиды является правильный треугольник, сторона которого равна а.

В основании прямой призмы ABCAiBiCi лежит прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС = а.

В основании прямой призмы ABCA,B\Ci лежит равнобедренный треугольник с прямым углом при вершине С.

В прямоугольном треугольнике ЛВС из вершины прямого угла проведена высота CD.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник, у которого АС = ВС=а.

В основании прямой призмы АВСА,В\С\ лежит прямоугольный треугольник, у которого /4С = ВС = а.

Доказать, что треугольник DMN подобен данному треугольнику.

В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник, у которого ЛС = ВС = о.

Для прямоугольного треугольника ABC построен ему симметричный треугольник ABCi относительно гипотенузы АВ.

Если точка М — середина высоты C\D треугольника АВС\ и N — середина стороны ВС, то треугольник AMN подобен треугольнику ABC.

Равнобедренный треугольник

Доказать, что если в треугольнике отношение тангенсов двух углов равно отношению квадратов синусов этих углов, то треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.

Доказать, что если в треугольнике выполняется соотношение- - -: = , то треугольник равнобедренный.

На сторонах ВС, СА и АВ равностороннего треугольника ABC даны соответственно точки М, N и Р.

В основании пирамиды SABC лежит правильный треугольник, а ее боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания и SA=AB.

а) Доказать, что MNP — равносторонний треугольник б) Вычислить MN, если ВС = а, Л = 2.

Через центр О правильного треугольника ABC проведены две прямые.

Если прямоугольник (равнобедренный треугольник, равнобедренную трапецию) и описанную около него окружность вращать вокруг оси симметрии, то получится фигура (рис.

Доказать, что отрезки этих прямых, заключенные внутри треугольника, равны.

Радиус R — OD сферы можно найти из прямоугольного треугольника см, a OiD — радиус описанной

Основание равнобедренного треугольника равно 4 т/2 см, медиана, проведенная к боковой стороне, равна 5 см.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3 см.

Основание равнобедренного треугольника равно 12 см.

Если прямоугольник (равнобедренный треугольник, равнобокую трапецию) и вписанную в него окружность (если она существует) вращать вокруг оси симметрии, то получится фигура, представляющая собой цилиндр и вписанную в него сферу (конус и вписанную сферу, усеченный конус и вписанную сферу).

Так как в равнобедренный треугольник всегда можно вписать окружность, то в конус всегда можно вписать сферу (рис.

Основание равнобедренного треугольника 12 см, а боковая сторона 18 см.

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 24 см.

В основании — прямоугольный треугольник со сторонами 10, 24 и 26 см.

Сумма двух неравных высот равнобедренного треугольника равна /, угол при вершине а.

На высоте ВН равнобедренного треугольника ABC (АВ — ВС) взята точка М так, что углы АМВ, ВМС и АМС равны, В каком отношении, считая от вершины, точка М делит высоту, если угол при основании треугольника равен а (а>30°)?

Угол при основании равнобедренного треугольника равен а.

Проведем ВО — медиану треугольника ABC.

Найти углы равнобедренного треугольника, если известно, что ортоцентр делит пополам высоту, проведенную к основанию треугольника.

Из прямоугольного треугольника SDP имеем SP2 = (b — a)2-(-JC2, Из прямоугольного треугольника SOB имеем

Теперь из прямоугольного треугольника SPK получим

О лишь для существования самой пирамиды: в прямоугольном треугольнике SAO гипотенуза больше катета.

Найти сторону правильного треугольника, вершины которого лежат на данных прямых (по одной на каждой прямой).

В равнобедренном треугольнике ЛВС (АВ = ВС) на стороне АВ взята точка D, a на стороне ВС — точка?

Значит, SO — медиана равнобедренных треугольников SAC и SBD, и поэтому SO±AC и SO_LBD, т.

Проведем для этого медиану SP треугольника SAB и точку Р соединим с точкой О.

Доказать, что множество середин всех отрезков DE совпадает со средней линией треугольника ABC.

В прямоугольном треугольнике SPO опустим из точки К перпендикуляр KL на сторону SP.

В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 36°, а осно ванне равно а.

В прямоугольном треугольнике SOP cos х=— =-у- :-|-Х

В равнобедренном треугольнике ABC (АВ — ВС) на стороне ВС взята точка D так, что BD:DC=1:4.

Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при вершине 2а.

Через вершину правильного треугольника проведен луч, делящий основание в отношении 2:1.

Какие углы образует этот луч с боковыми сторонами треугольника?

Две грани треугольной пирамиды — равные между собой прямоугольные треугольники с общим катетом, равным /.

Угол при основании равнобедренного треугольника равен arctg —.

Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, если медиана, проведенная к боковой стороне, образует с основанием угол arcsin -^-.

В равнобедренном треугольнике ЛВС угол В равен 110°.

Внутри треугольника взята точка М так, что ^УИЛС = 30°, Z.

Шар вписан в прямую призму, основанием которой служит прямоугольный треугольник, в котором перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, равен h и составляет с одним из катетов угол а.

Произвольный треугольник

Доказать, что если две стороны и высота одного остроугольного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте другого остроугольного треугольника, то такие треугольники равны (рассмотреть два случая).

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, каждая из боковых сторон которого равна а.

Доказать, что если две стороны и медиана одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны (рассмотреть два случая).

Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, каждый из равных углов которого равен а.

Равносторонний треугольник SAB перегнули по средней линии DE, параллельной стороне АВ, таким образом, что двугранный угол при ребре DE получился равным 90°.

Доказать, что во всяком треугольнике биссектриса либо совпадает с медианой и высотой, проведенными из той же вершины, либо лежит между ними.

В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см.

Доказать, что во всяком треугольнике сумма медиан больше — периметра, но меньше периметра.

Доказать, что прямая, проходящая через вершину А треугольника ABC и середину медианы BD, делит сторону ВС в отношении 1:2.

В треугольнике ЛВС угол В равен 115°.

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки длиной 2 и 4 см, а высота, проведенная к той же стороне, равна V15 см.

Найти отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон.

Найти третью сторону треугольника.

В треугольнике ABC проведена биссектриса АО.

В треугольнике ABC известно, что ВС = \2 см, АС = 8 см и угол А вдвое больше угла В.

На листе бумаги, являющемся квадратом PQML, прорезано отверстие — равносторонний треугольник ЛВС — так, что Л ВЦ PL и AB:PL= 1:2.

Найти больший угол при основании треугольника.

В остроугольном треугольнике ABC острый угол между высотами AD и СЕ равен а.

Из треугольника B,Ci/C находим: В\К—^а2-\-х2, а из треугольника DKC находим: DK = _-Ja2 i (a_ xf.

Из треугольника B\KD по теореме косинусов получаем B

Так как треугольники KMD и CLD подобны, то 77=^, т.

Доказать, что если в треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны, то сумма их квадратов равна квадрату третьей медианы.

Из треугольника ОКН находим: — rctgx; из треугольника HKD находим: KD = HK — r ctg x; из треугольника МНК находим: МК = — „ — rctgx Тогда cos 2x cos 2x.

Воспользовавшись теоремой Чевы, доказать, что: а) медианы треугольника пересекаются в одной точке; б) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке; в) высоты треугольника пересекаются в одной точке.

В треугольнике ABC проведены медианы АА\, ВВ\ и СС\, пересекающиеся в точке М.

Из треугольника МВН находим: НВ —.

Доказать, что в пересечении этих прямых образовался треугольник, равный треугольнику ABC.

«Домик» составлен из двух прямых призм с квадратным и треугольным основаниями, причем треугольное основание представляет собой равнобедренный прямоугольный треугольник (рис.

В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный равнобедренный треугольник АВС(АВ-ВС).

Доказать, что если длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию, то центр окружности, вписанной в этот треугольник, и центроид треугольника лежат на прямой, параллельной средней по длине стороне треугольника.

Доказать, что из всех пирамид, в основании которых лежит равнобедренный треугольник, вписанных в конус заданного объема, наибольший объем имеет правильная пирамида

Периметр равнобедренного треугольника 2р.

Каковы должны быть его стороны, чтобы был наибольшим объем тела, полученного от вращения этого треугольника: а) вокруг основания; б) вокруг высоты, проведенной к основанию?

В треугольнике ABC.

В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник ABC, у которого ZC = 90°, /LA =60° и АС = 6 см.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru